Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula a 1,00 \mu \mathrm{~m} de distância

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: determinar a densidade de energia u do campo elétrico criado por um elétron, tratando-o como carga pontual, a uma distância r=1,00\\ \mu\mathrm{m} da carga. Dados que vamos usar (valores em SI, peguei-os dos valores físicos padrão):
  • carga do elétron: q=-e com e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
  • constante dielétrica do vácuo: \varepsilon_0=8,8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m};
  • distância: r=1,00\\ \mu\mathrm{m}=1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede um único valor: a densidade de energia do campo elétrico no ponto situado a r=1,00\\ \mu\mathrm{m} da carga.

Passo 2

Fórmula fundamental para energia do campo elétrico: a densidade de energia elétrica (energia por unidade de volume) num ponto onde existe apenas campo elétrico vale
u=\frac{\varepsilon_0}{2}\,E^2,
onde:
  • u é a densidade de energia em \mathrm{J/m^{3}};
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo em \mathrm{F/m};
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{N/C} (ou \mathrm{V/m}) naquele ponto.
Explicação curta e intuitiva: essa fórmula vem da energia armazenada num campo elétrico contínuo; o fator E^2 mostra que energia depende do quadrado do campo (sinal da carga não importa porque o campo entra ao quadrado).

Passo 3

Campo elétrico de uma carga pontual: o módulo do campo elétrico gerado por uma carga pontual q a uma distância r é
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q|}{r^2}.
Aqui:
  • |q| é o valor absoluto da carga (usamos valor positivo para o módulo);
  • 4\pi\varepsilon_0 aparece na lei de Coulomb.
Substituindo E na expressão de u obtemos, fazendo as contas algébricas passo a passo:
u=\frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{r^2}\right)^{\!2}.
Desenvolvendo o quadrado e simplificando fatores de \varepsilon_0:
u=\frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^{2}r^{4}} =\frac{q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_0\,r^{4}}.
Essa expressão é prática porque reduz a necessidade de computar E separadamente — ela dá u direto em termos de q e r.

Passo 4

Agora vamos avaliar numericamente cada termo com cuidado (tudo em SI). Primeiro alguns valores úteis:
q^{2}=(1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})^{2}=2,566969966\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}},
r^{4}=(1,00\times10^{-6}\\ \mathrm{m})^{4}=1,00\times10^{-24}\\ \mathrm{m^{4}},
\pi^{2}\approx9,869604401\!.
Calcular o denominador 32\pi^{2}\varepsilon_0\,r^{4}:
32\pi^{2}\varepsilon_0\,r^{4} =32\cdot9,869604401\cdot(8,8541878128\times10^{-12})\cdot(1,00\times10^{-24}).
Primeiro 32\pi^{2}\approx315,827340835. Multiplicando por \varepsilon_0:
315,827340835\times8,8541878128\times10^{-12}\approx2,796394095519\times10^{-9}.
Agora multiplicando por r^{4}=1,00\times10^{-24} obtemos
32\pi^{2}\varepsilon_0\,r^{4}\approx2,796394095519\times10^{-33}.

Passo 5

Dividimos q^{2} pelo denominador para obter u:
u=\frac{q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_0\,r^{4}} \approx\frac{2,566969966\times10^{-38}}{2,796394095519\times10^{-33}}.
Fazendo a divisão obtemos
u\approx9,18005\times10^{-6}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 6

Comentário físico rápido (para fixar a intuição): esse valor é bem pequeno, da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{J/m^{3}}, o que reflete que a energia do campo elétrico de um elétron, a uma distância micrométrica, está muito espalhada no espaço. Se a distância fosse muito menor (por exemplo nanômetros), u cresceria muito porque u\propto r^{-4}.

Resposta

u\approx9,18\times10^{-6}\\ \mathrm{J/m^{3}}

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