Considere um elétron no estado fundamental
de um poço quadrado infinito unidimensional de largura L ao longo do eixo
. Uma luz monocromática de frequência
, descrita pelo potencial
, onde
é a intensidade do campo elétrico associado à luz, incide sobre este elétron. Neste caso, é correto afirmar que
d) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para o segundo estado excitado,
, se
d) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para o segundo estado excitado,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um elétron na configuração mais básica (estado fundamental, $ n=1 $) dentro de um poço quadrado infinito unidimensional com largura $ L $ ao longo do eixo $ x $. Uma luz com frequência $ \omega $ está batendo nesse elétron, e essa luz é descrita por um potencial $ V(x, t) = e F x \cos(\omega t) $, onde $ F $ representa a intensidade do campo elétrico da luz. A pergunta quer saber se é verdade que o elétron pode absorver energia dessa luz e passar para o segundo estado excitado ($ n=3
\hbar \omega $) é igual a $ \frac{8 \hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}} $.
Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre transições de energia em potenciais de poços quânticos e as regras de seleção que determinam quais transições são permitidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia em um poço quadrado infinito. A energia dos estados estacionários é dada por:
onde:
- $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …),
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ L $ é a largura do poço.
Passo 3
Queremos saber a energia necessária para o elétron passar do estado $ n=1 $ para $ n=3 $. Para isso, calculamos a diferença de energia entre esses estados:
Então, a energia necessária para essa transição é $ \Delta E = \frac{4 \pi^2 \hbar^2}{m L^2} $.
Passo 4
Agora, a condição dada na opção d) afirma que $ \hbar \omega = \frac{8 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} = \frac{4 \pi^2 \hbar^2}{m L^2} $, que exatamente corresponde à $ \Delta E $ que acabamos de calcular. Isso significa que, em termos de energia, a luz tem a quantidade certa para promover o elétron do estado $ n=1 $ para $ n=3 $.
Passo 5
Entretanto, temos que considerar as regras de seleção em transições eletrônicas. Para que uma transição seja permitida, o elemento de matriz dipolo deve ser não nulo. No caso do poço infinito unidimensional, essas regras estabelecem que apenas transições onde a mudança no número quântico $ \Delta n $ é ímpar são permitidas.
No nosso caso, $ \Delta n = 3 - 1 = 2 $, que é par. Portanto, mesmo que a energia da luz coincida com a diferença de energia dos estados, a transição $ n=1 $ para $ n=3 $ é proibida pelas regras de seleção.
Resposta
Não, o elétron não pode absorver energia dessa luz para ir do estado $ n=1 $ para $ n=3 $ sob a condição dada.