Um sistema possui um único estado de energia possível. Entretanto, quando sua temperatura é alterada, ele passa a ter 8 possíveis estados de energia. Qual o ganho de entropia do sistema?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um sistema começa com apenas um estado de energia possível, mas quando a temperatura muda, ele passa a ter 8 estados de energia. O que precisamos encontrar é o ganho de entropia desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de entropia na termodinâmica estatística, especialmente a fórmula que relaciona a entropia ao número de estados possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica da entropia (S) em termodinâmica estatística:
Onde:
- $ S $ é a entropia.
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann.
- $ \Omega $ é o número de estados de energia possíveis do sistema.
Essa fórmula nos diz que a entropia aumenta com o aumento do número de estados acessíveis ao sistema.
Passo 3
Agora, vamos calcular a entropia antes e depois da mudança de temperatura.
Antes da mudança:
- Número de estados ($ \Omega_{inicial} $) = 1
- Entropia inicial ($ S_{inicial} $):
Depois da mudança:
- Número de estados ($ \Omega_{final} $) = 8
- Entropia final ($ S_{final} $):
Passo 4
Vamos simplificar $ \ln(8) $. Sabemos que 8 é igual a $ 2^3 $, então:
Agora, substituindo na fórmula da entropia final:
Mas, para facilitar e considerando que $ \ln(2) $ é apenas uma constante, podemos simplificar a expressão final para:
O ganho de entropia ($ \Delta S $) é a diferença entre a entropia final e a inicial:
Resposta
O ganho de entropia do sistema é
.