Considere um elétron em um estado de spin |\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\binom{1-i}{1} escrito na base dos autoestados do operador spin S_{z} (cuja forma está escrita na questão 1). Uma medida é feita sobre sua componente z de spin, S_{z}. Calcule:
(a) O valor esperado desta grandeza \left\langle S_{z}\right\rangle
(b) As probabilidades de se observar, na medida de S_{z}, um valor +\hbar / 2 e um valor -\hbar / 2
(c) O desvio padrão da medida de S_{z}.

Passo 1

O enunciado dá o estado de spin do elétron na base dos autoestados de S_{z}:
|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1-i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Pede três coisas:
  1. (a) o valor esperado \langle S_{z}\rangle;
  2. (b) as probabilidades de obter +\hbar/2 e -\hbar/2 na medida de S_{z};
  3. (c) o desvio padrão (ou seja, a raiz da variância) da medida de S_{z}.
Informações relevantes dadas ou usadas (todas explícitas):
  • O vetor acima está escrito na base dos autoestados de S_{z}; nessa base os autoestados correspondem aos vetores coluna \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} (autovalor +\hbar/2) e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} (autovalor -\hbar/2).
  • Vou usar a forma padrão do operador S_{z} nessa base:
S_{z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
(Se essa forma já estava na questão 1, estou apenas reiterando porque é a forma usual na base dos autoestados de S_{z}.)]

Passo 2

Primeiro verificamos normalização e interpretamos amplitudes (isso é importante para aplicar a regra de Born).
  • O estado tem amplitude para o autoestado +\hbar/2 igual a
a=\frac{1-i}{\sqrt{3}}.
  • A amplitude para o autoestado -\hbar/2 é
b=\frac{1}{\sqrt{3}}.
A regra de Born diz que a probabilidade de obter um autovalor é o módulo quadrado da amplitude correspondente: P=|\text{amplitude}|^{2}.
Antes de calcular as probabilidades, vamos confirmar que o estado está normalizado calculando |a|^{2}+|b|^{2}.

Passo 3

Calculemos |a|^{2} com cuidado:
|a|^{2}=\left|\frac{1-i}{\sqrt{3}}\right|^{2}=\frac{|1-i|^{2}}{3}.
Para |1-i|^{2} fazemos a multiplicação pelo conjugado:
|1-i|^{2}=(1-i)(1+i)=1+1=2.
Portanto
|a|^{2}=\frac{2}{3}.
Agora |b|^{2}:
|b|^{2}=\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^{2}=\frac{1}{3}.
Somando |a|^{2}+|b|^{2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1, ou seja, o estado está normalizado — tudo consistente.

Passo 4

Respondendo (b): as probabilidades pedidas são exatamente |a|^{2} e |b|^{2} que acabamos de calcular. Logo,
P\big(+\hbar/2\big)=\frac{2}{3},\qquad P\big(-\hbar/2\big)=\frac{1}{3}.
(Guarde isso — vamos usar no cálculo do valor esperado.)

Passo 5

Agora (a): calculando o valor esperado \langle S_{z}\rangle.
Duas formas equivalentes: (i) usar as probabilidades e os autovalores; (ii) usar a expressão de valor esperado com operador \langle\chi|S_{z}|\chi\rangle. Vou mostrar a forma (i), que é mais direta aqui, e depois comentar a (ii) rapidamente.
Usando probabilidades e autovalores:
\langle S_{z}\rangle = P\big(+\hbar/2\big)\cdot\frac{\hbar}{2} + P\big(-\hbar/2\big)\cdot\left(-\frac{\hbar}{2}\right).
Substituindo P\big(+\hbar/2\big)=\tfrac{2}{3} e P\big(-\hbar/2\big)=\tfrac{1}{3}:
\langle S_{z}\rangle = \frac{2}{3}\cdot\frac{\hbar}{2} + \frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{\hbar}{2}\right).
Calcule passo a passo:
\frac{2}{3}\cdot\frac{\hbar}{2}=\frac{2\hbar}{6}=\frac{\hbar}{3},\qquad \frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{\hbar}{2}\right)=-\frac{\hbar}{6}.
Somando:
\langle S_{z}\rangle = \frac{\hbar}{3}-\frac{\hbar}{6}=\frac{\hbar}{6}.
Comentário rápido sobre a forma (ii): se você calcular \langle\chi|S_{z}|\chi\rangle usando a matriz de S_{z} e o vetor |\chi\rangle obtém o mesmo resultado \hbar/6; é apenas mais conta matricial.

Passo 6

Para (c) precisamos do desvio padrão \sigma_{S_{z}}. Primeiro lembramos a definição:
\sigma_{S_{z}}^{2}=\langle S_{z}^{2}\rangle - \langle S_{z}\rangle^{2},
onde \sigma_{S_{z}}^{2} é a variância. Explicando: \langle S_{z}^{2}\rangle é o valor esperado do operador S_{z}^{2}, e \langle S_{z}\rangle^{2} é o quadrado do valor esperado que já calculamos.

Passo 7

Calcule \langle S_{z}^{2}\rangle. Como S_{z} tem autovalores \pm \hbar/2, S_{z}^{2} tem autovalor (\hbar/2)^{2} para ambos os autovetores, ou seja
S_{z}^{2}=\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2} I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Então para qualquer estado normalizado
\langle S_{z}^{2}\rangle=\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2}.
Agora substituímos:
\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2}=\frac{\hbar^{2}}{4}.
Lembrando que \langle S_{z}\rangle=\frac{\hbar}{6}, temos
\langle S_{z}\rangle^{2}=\left(\frac{\hbar}{6}\right)^{2}=\frac{\hbar^{2}}{36}.

Passo 8

Agora a variância:
\sigma_{S_{z}}^{2}=\frac{\hbar^{2}}{4}-\frac{\hbar^{2}}{36}.
Colocando em denominador comum 36:
\frac{\hbar^{2}}{4}=\frac{9\hbar^{2}}{36},
portanto
\sigma_{S_{z}}^{2}=\frac{9\hbar^{2}}{36}-\frac{\hbar^{2}}{36}=\frac{8\hbar^{2}}{36}=\frac{2\hbar^{2}}{9}.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{S_{z}}=\sqrt{\frac{2\hbar^{2}}{9}}=\frac{\hbar\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\langle S_{z}\rangle=\dfrac{\hbar}{6}
P\big(+\hbar/2\big)=\dfrac{2}{3}
P\big(-\hbar/2\big)=\dfrac{1}{3}
\sigma_{S_{z}}=\dfrac{\hbar\sqrt{2}}{3}

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