Considere um elétron em um estado de spin |\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\binom{1-i}{1} escrito na base dos autoestados do operador spin S_{z} (cuja forma está escrita na questão 1). Uma medida é feita sobre sua componente z de spin, S_{z}. Calcule:
(a) O valor esperado desta grandeza \left\langle S_{z}\right\rangle
(b) As probabilidades de se observar, na medida de S_{z}, um valor +\hbar / 2 e um valor -\hbar / 2
(c) O desvio padrão da medida de S_{z}.
Passo 1
O enunciado dá o estado de spin do elétron na base dos autoestados de S_{z}:
(b) as probabilidades de obter +\hbar/2 e -\hbar/2 na medida de S_{z};
(c) o desvio padrão (ou seja, a raiz da variância) da medida de S_{z}.
Informações relevantes dadas ou usadas (todas explícitas):
O vetor acima está escrito na base dos autoestados de S_{z}; nessa base os autoestados correspondem aos vetores coluna \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} (autovalor +\hbar/2) e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} (autovalor -\hbar/2).
Vou usar a forma padrão do operador S_{z} nessa base:
(Se essa forma já estava na questão 1, estou apenas reiterando porque é a forma usual na base dos autoestados de S_{z}.)]
Passo 2
Primeiro verificamos normalização e interpretamos amplitudes (isso é importante para aplicar a regra de Born).
O estado tem amplitude para o autoestado +\hbar/2 igual a
a=\frac{1-i}{\sqrt{3}}.
A amplitude para o autoestado -\hbar/2 é
b=\frac{1}{\sqrt{3}}.
A regra de Born diz que a probabilidade de obter um autovalor é o módulo quadrado da amplitude correspondente: P=|\text{amplitude}|^{2}.
Antes de calcular as probabilidades, vamos confirmar que o estado está normalizado calculando |a|^{2}+|b|^{2}.
(Guarde isso — vamos usar no cálculo do valor esperado.)
Passo 5
Agora (a): calculando o valor esperado \langle S_{z}\rangle.
Duas formas equivalentes: (i) usar as probabilidades e os autovalores; (ii) usar a expressão de valor esperado com operador \langle\chi|S_{z}|\chi\rangle. Vou mostrar a forma (i), que é mais direta aqui, e depois comentar a (ii) rapidamente.
Comentário rápido sobre a forma (ii): se você calcular \langle\chi|S_{z}|\chi\rangle usando a matriz de S_{z} e o vetor |\chi\rangle obtém o mesmo resultado \hbar/6; é apenas mais conta matricial.
Passo 6
Para (c) precisamos do desvio padrão \sigma_{S_{z}}. Primeiro lembramos a definição:
onde \sigma_{S_{z}}^{2} é a variância. Explicando: \langle S_{z}^{2}\rangle é o valor esperado do operador S_{z}^{2}, e \langle S_{z}\rangle^{2} é o quadrado do valor esperado que já calculamos.
Passo 7
Calcule \langle S_{z}^{2}\rangle. Como S_{z} tem autovalores \pm \hbar/2, S_{z}^{2} tem autovalor (\hbar/2)^{2} para ambos os autovetores, ou seja
S_{z}^{2}=\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2} I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Então para qualquer estado normalizado