Uma partícula encontra-se no estado |x\rangle=\cos \alpha|0\rangle+\sin \alpha|1\rangle, onde |0\rangle e |1\rangle são autoestados normalizados. Ao medirmos o observável A=|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 0|, qual a probabilidade da medida ser 1 ?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que a partícula está no estado
onde |0\rangle e |1\rangle são autoestados normalizados (ou seja \langle0|0\rangle=\langle1|1\rangle=1 e \langle0|1\rangle=0). O observável é
A=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|.
A pergunta é: qual a probabilidade de a medida de A resultar no valor 1?
Passo 2
Lembrete da regra de medição (passo didático): se um observável tem autovetor |a\rangle associado ao autovalor a, então a probabilidade de obter a ao medir o sistema no estado |\psi\rangle é
\text{Prob}(a)=|\langle a|\psi\rangle|^{2}.
Alternativamente, se P_a=|a\rangle\langle a| é o projetor no subespaço do autovalor a, então
\text{Prob}(a)=\langle\psi|P_a|\psi\rangle.
Aqui usaremos a forma com produto interno |\langle a|\psi\rangle|^{2}. Isso significa que primeiro precisamos achar o autovetor de A com autovalor 1.
Passo 3
Vamos encontrar os autovetores de A. Observe a ação de A nas bases |0\rangle e |1\rangle:
A|0\rangle=|1\rangle,\qquad A|1\rangle=|0\rangle.
Procuramos combinações lineares |\varphi\rangle=c_0|0\rangle+c_1|1\rangle tais que A|\varphi\rangle=\lambda|\varphi\rangle. Uma combinação natural para \lambda=1 é
Pequena checagem de borda (pra te dar confiança): se \alpha=\tfrac{\pi}{4} então \sin 2\alpha=1 e \text{Prob}(1)=1 (o estado é exatamente |+\rangle); se \alpha=0 então \sin 2\alpha=0 e \text{Prob}(1)=\tfrac{1}{2}, como esperado para |0\rangle medido em base de autovetores de A.