Uma partícula encontra-se no estado |x\rangle=\cos \alpha|0\rangle+\sin \alpha|1\rangle, onde |0\rangle e |1\rangle são autoestados normalizados. Ao medirmos o observável A=|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 0|, qual a probabilidade da medida ser 1 ?

Passo 1

O enunciado dá a informação de que a partícula está no estado
|x\rangle=\cos\alpha\,|0\rangle+\sin\alpha\,|1\rangle,
onde |0\rangle e |1\rangle são autoestados normalizados (ou seja \langle0|0\rangle=\langle1|1\rangle=1 e \langle0|1\rangle=0). O observável é
A=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|.
A pergunta é: qual a probabilidade de a medida de A resultar no valor 1?

Passo 2

Lembrete da regra de medição (passo didático): se um observável tem autovetor |a\rangle associado ao autovalor a, então a probabilidade de obter a ao medir o sistema no estado |\psi\rangle é
\text{Prob}(a)=|\langle a|\psi\rangle|^{2}.
Alternativamente, se P_a=|a\rangle\langle a| é o projetor no subespaço do autovalor a, então
\text{Prob}(a)=\langle\psi|P_a|\psi\rangle.
Aqui usaremos a forma com produto interno |\langle a|\psi\rangle|^{2}. Isso significa que primeiro precisamos achar o autovetor de A com autovalor 1.

Passo 3

Vamos encontrar os autovetores de A. Observe a ação de A nas bases |0\rangle e |1\rangle:
A|0\rangle=|1\rangle,\qquad A|1\rangle=|0\rangle.
Procuramos combinações lineares |\varphi\rangle=c_0|0\rangle+c_1|1\rangle tais que A|\varphi\rangle=\lambda|\varphi\rangle. Uma combinação natural para \lambda=1 é
|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle+|1\rangle\big).
Verificamos:
A|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(A|0\rangle+A|1\rangle\big)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|1\rangle+|0\rangle\big)=|+\rangle,
portanto |+\rangle é autovetor associado ao autovalor 1. Note que |+\rangle está normalizado:
\langle+|+\rangle=1.

Passo 4

Pela regra de probabilidade, a probabilidade de medir 1 é
\text{Prob}(1)=|\langle +|x\rangle|^{2}.
Calculemos \langle +|x\rangle. Usando |+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) e |x\rangle=\cos\alpha\,|0\rangle+\sin\alpha\,|1\rangle,
\langle +|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\langle0|+\langle1|\big)\big(\cos\alpha\,|0\rangle+\sin\alpha\,|1\rangle\big).
Usando ortonormalidade \langle0|0\rangle=1, \langle1|1\rangle=1 e \langle0|1\rangle=\langle1|0\rangle=0, obtemos
\langle +|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\cos\alpha+\sin\alpha\big).

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado o módulo para obter a probabilidade:
\text{Prob}(1)=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\cos\alpha+\sin\alpha\big)\right|^{2}=\frac{1}{2}\big(\cos\alpha+\sin\alpha\big)^{2}.
Expandindo a soma e usando \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1 e 2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha, obtemos
\text{Prob}(1)=\frac{1}{2}\big(1+\sin 2\alpha\big).
Pequena checagem de borda (pra te dar confiança): se \alpha=\tfrac{\pi}{4} então \sin 2\alpha=1 e \text{Prob}(1)=1 (o estado é exatamente |+\rangle); se \alpha=0 então \sin 2\alpha=0 e \text{Prob}(1)=\tfrac{1}{2}, como esperado para |0\rangle medido em base de autovetores de A.

Resposta

\dfrac{1+\sin 2\alpha}{2}

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