Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção x, com frequência omega. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção x. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia En deste sistema é:
a) neF, onde e é a carga do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está se comportando como um oscilador harmônico quântico unidimensional na direção $ x $, com frequência $ \omega $. Agora, aplicam-se um campo elétrico fraco $ F $ na mesma direção $ x $. A pergunta quer saber qual é a correção de primeira ordem na energia própria $ E_n $ desse sistema usando a teoria de perturbação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de oscilador harmônico quântico e teoria de perturbação de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um oscilador harmônico quântico. É um sistema onde uma partícula (neste caso, um elétron) oscila em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força restauradora proporcional à posição. As energias próprias desse sistema são dadas por:
En = hbar omega (n + 12)
onde $ n = 0, 1, 2, ··· $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, e $ \omega $ é a frequência angular do oscilador.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a teoria de perturbação de primeira ordem. Quando temos um sistema que sofre uma pequena perturbação (neste caso, o campo elétrico $ F $), a energia própria é ajustada. A correção de primeira ordem na energia é calculada como o valor esperado da perturbação no estado não perturbado:
F
onde $ H’ $ é o termo de perturbação na Hamiltoniana do sistema.

Passo 4

Vamos identificar o termo de perturbação $ H’ $. O campo elétrico $ F $ exerce uma força sobre o elétron, resultando em uma energia potencial dada por:
H'
onde $ e $ é a carga do elétron e $ x $ é o operador posição.

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ E_n^{(1)} $:
En^(1)
Aqui, $ \langle n | x | n \rangle $ é o valor esperado da posição no estado $ n $.

Passo 6

Para o oscilador harmônico quântico, sabemos que os valores esperados da posição nos estados próprios são zero, ou seja:
lang<= n | x | n rang<= = 0
Isso ocorre porque a função de onda é simétrica em torno da posição de equilíbrio, fazendo com que as contribuições positivas e negativas se cancelem.

Passo 7

Substituindo esse resultado na expressão para $ E_n^{(1)} $:
En^(1)
Então, a correção de primeira ordem na energia própria é zero.

Resposta

A afirmação de que a correção de primeira ordem é $ neF $ está incorreta. Na verdade, a correção de primeira ordem para a energia própria $ E_n $ é zero.

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