Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
a) neF, onde e é a carga do elétron.
a) neF, onde e é a carga do elétron.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está se comportando como um oscilador harmônico quântico unidimensional na direção $ x $, com frequência $ \omega $. Agora, aplicam-se um campo elétrico fraco $ F $ na mesma direção $ x $. A pergunta quer saber qual é a correção de primeira ordem na energia própria $ E_n $ desse sistema usando a teoria de perturbação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de oscilador harmônico quântico e teoria de perturbação de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um oscilador harmônico quântico. É um sistema onde uma partícula (neste caso, um elétron) oscila em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força restauradora proporcional à posição. As energias próprias desse sistema são dadas por:
onde $ n = 0, 1, 2, ··· $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, e $ \omega $ é a frequência angular do oscilador.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a teoria de perturbação de primeira ordem. Quando temos um sistema que sofre uma pequena perturbação (neste caso, o campo elétrico $ F $), a energia própria é ajustada. A correção de primeira ordem na energia é calculada como o valor esperado da perturbação no estado não perturbado:
onde $ H’ $ é o termo de perturbação na Hamiltoniana do sistema.
Passo 4
Vamos identificar o termo de perturbação $ H’ $. O campo elétrico $ F $ exerce uma força sobre o elétron, resultando em uma energia potencial dada por:
onde $ e $ é a carga do elétron e $ x $ é o operador posição.
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ E_n^{(1)} $:
Aqui, $ \langle n | x | n \rangle $ é o valor esperado da posição no estado $ n $.
Passo 6
Para o oscilador harmônico quântico, sabemos que os valores esperados da posição nos estados próprios são zero, ou seja:
Isso ocorre porque a função de onda é simétrica em torno da posição de equilíbrio, fazendo com que as contribuições positivas e negativas se cancelem.
Passo 7
Substituindo esse resultado na expressão para $ E_n^{(1)} $:
Então, a correção de primeira ordem na energia própria é zero.
Resposta
A afirmação de que a correção de primeira ordem é $ neF $ está incorreta. Na verdade, a correção de primeira ordem para a energia própria $ E_n $ é zero.