Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
d)
, onde e é a carga do elétron.
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elétron num oscilador harmônico quântico em uma dimensão (ao longo do eixo $ x $) com frequência $ \omega $. Além disso, um campo elétrico fraco $ F $ está sendo aplicado na mesma direção $ x $. O que precisamos encontrar é a correção de primeira ordem na energia $ E_n $ desse sistema usando a teoria de perturbação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a teoria de perturbação de primeira ordem funciona e como aplicá-la a um oscilador harmônico quântico. Vamos também utilizar as propriedades dos operadores no oscilador harmônico e a expressão para a correção de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico quântico sem perturbação, as energias próprias são dadas por:
onde $ n = 0, 1, 2, \dots $ é o número quântico.
Passo 3
Agora, vamos considerar a perturbação causada pelo campo elétrico $ F $. A perturbação no Hamiltoniano é dada por:
Aqui, $ e $ é a carga do elétron e $ x $ é o operador posição.
Passo 4
Na teoria de perturbação de primeira ordem, a correção na energia $ E_n^{(1)} $ é dada pela expectativa do operador de perturbação no estado não perturbado $ |n^{(0)}\rangle $:
Passo 5
Para calcular $ \langle n^{(0)} | x | n^{(0)} \rangle $, usamos as propriedades dos operadores no oscilador harmônico. Sabemos que a expectativa do operador $ x $ em um estado próprio não perturbado é zero:
Isso ocorre porque os estados próprios são simétricos e a função de onda é par ou ímpar, fazendo com que a expectativa de $ x $ se anule.
Passo 6
No entanto, se considerarmos a interação com o campo elétrico, a perturbação pode misturar estados com diferentes números quânticos. Mas na primeira ordem da teoria de perturbação, apenas consideramos a expectativa direta, que, como vimos, é zero. Portanto, precisamos ir a uma ordem superior para obter uma contribuição não nula.
Passo 7
Mas, como a questão pede especificamente a correção de primeira ordem, e na verdade a primeira correção para a energia devido a um campo elétrico linear é zero, a resposta fornecida na questão (opção d) parece incorreta, já que a primeira correção deveria ser zero.
Resposta
A correção de primeira ordem na energia $ E_n $ é zero.