Um laser funciona a partir da emissão de fótons provenientes da transição de elétrons do nível n=3 ao nível n=1 de um poço quântico unidimensional de largura L=5 nm. Qual a frequência em Hertz, aproximadamente, do fóton emitido nessa transição? Se você quiser aumentar essa frequência, você deve fazer L maior ou menor? Use hbar^22 m=38,1011 meV e h=4.1357 times 10^-12 meV / Hz.
e) 29 times 10^12 Hz, menor

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um laser que emite fótons quando elétrons fazem uma transição do nível $ n=3 $ para $ n=1 $ em um poço quântico unidimensional com largura $ L = 5 , nm $. Nosso objetivo é encontrar a frequência desse fóton e descobrir se, para aumentar essa frequência, a largura $ L $ deve ser maior ou menor. Vamos precisar usar conceitos de energia em poços quânticos e a relação entre energia e frequência dos fótons.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia dos elétrons em um poço quântico unidimensional. A energia dos níveis é dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2
Onde:
  • $ E_n $ é a energia do nível $ n $
  • $ \hbar $ é a constante reduzida de Planck
  • $ m $ é a massa do elétron
  • $ L $ é a largura do poço quântico
  • $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …)
No nosso caso, a diferença de energia entre os níveis $ n=3 $ e $ n=1 $ vai nos dar a energia do fóton emitido.

Passo 3

Vamos calcular a diferença de energia $ \Delta E $ entre os níveis $ n=3 $ e $ n=1 $:
De

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa diferença de energia com a frequência do fóton emitido. Sabemos que a energia do fóton $ \Delta E $ está relacionada à sua frequência $ \nu $ pela fórmula:
De
Onde $ h $ é a constante de Planck. Assim, podemos resolver para $ \nu $:
nu

Passo 5

Vamos agora substituir os valores fornecidos no problema:
hbar^22m = 38,1011 , meV Rightarrow hbar^2 = 2m times 38,1011 , meV
Substituindo na equação da frequência:
nu = 4 pi^2 times 2m times 38,1011 , meVmL^2 h = 8 pi^2 times 38,1011 , meVL^2 h
Simplificando $ m $ e substituindo $ L = 5 , nm = 5 \times 10^{-9} , m $:
m
Calculando os valores numéricos:
L = 5 , nm = 5 times 10^-9 , m

Passo 6

Para aumentar a frequência $ \nu $, olhando a fórmula:
nu
Isso significa que a frequência é inversamente proporcional ao quadrado da largura $ L $. Portanto, para aumentar $ \nu $, devemos diminuir $ L $.

Resposta

A frequência do fóton emitido é aproximadamente $ 29 \times 10^{12} , Hz $. Para aumentar essa frequência, deve-se diminuir a largura $ L $.

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