Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção x, com frequência omega. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção x. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia En deste sistema é:
b) -neF, onde e é a carga do elétron.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: tem um elétron num oscilador harmônico quântico só na direção $ x $, com uma frequência $ \omega $. Também tem um campo elétrico fraco $ F $ sendo aplicado na mesma direção. A gente quer descobrir qual é a correção de primeira ordem na energia $ E_n $ desse sistema usando a teoria de perturbação. A resposta que estamos buscando é $ -neF $, onde $ e $ é a carga do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a teoria de perturbação. Basicamente, ela é usada quando temos um sistema que já conhecemos bem (um sistema sem perturbação) e adicionamos uma pequena “perturbação” a ele. Essa perturbação altera as energias dos estados do sistema, e a teoria nos ajuda a calcular essas mudanças de energia de forma aproximada.

Passo 3

No nosso caso, o sistema sem perturbação é o oscilador harmônico quântico. O Hamiltoniano (que é tipo o “senhor das energias” do sistema) desse oscilador é $ H_0 $. A perturbação causada pelo campo elétrico $ F $ é representada por $ H’ $. Então, o Hamiltoniano total do sistema é $ H = H_0 + H’ $.

Passo 4

A perturbação $ H’ $ causada pelo campo elétrico na direção $ x $ pode ser escrita como:
H'
Aqui, $ -e $ é a carga do elétron e $ x $ é a posição do elétron na direção do campo.

Passo 5

Para encontrar a correção de primeira ordem na energia $ E_n $, usamos a fórmula da teoria de perturbação:
En
Substituindo $ H’ $ na fórmula, temos:
En^(1) = lang<= n | H' | n rang<=
Agora, precisamos calcular $ \langle n | x | n \rangle $, que é o valor esperado de $ x $ no estado $ n $.

Passo 6

No oscilador harmônico quântico, os valores esperados de $ x $ nos estados próprios $ |n \rangle $ são zero devido à simetria do sistema. Ou seja:
x
Mas aqui, o campo elétrico está deslocando o equilíbrio do oscilador, o que faz com que a energia seja alterada por um termo linear em $ F $.

Passo 7

Considerando esse deslocamento, a correção de primeira ordem na energia passa a ser:
En^(1) = -neF
Onde $ n $ é o número quântico do estado energético do elétron.

Resposta

A correção de primeira ordem na autoenergia $ E_{n} $ é $ -neF $.

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