Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
c)
, onde e é a carga do elétron.
c)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está se movendo em um oscilador harmônico quântico unidimensional na direção
, com uma certa frequência
. Além disso, está sendo aplicado um campo elétrico fraco
também na direção
. A pergunta quer saber qual é a correção de primeira ordem na energia
desse sistema usando a teoria de perturbação. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de oscilador harmônico quântico, teoria de perturbação de primeira ordem e como calcular a energia corrigida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico quântico. No nível básico, a energia dos estados de um oscilador harmônico quântico é dada por:
onde
é o número quântico,
é a constante de Planck reduzida e
é a frequência do oscilador.
Passo 3
Agora, introduzimos uma perturbação no sistema, que no caso é o campo elétrico fraco
. Essa perturbação adiciona um termo ao Hamiltoniano do sistema. A perturbação devido ao campo elétrico é:
onde
é a carga do elétron e
é a posição na direção do campo.
Passo 4
Para encontrar a correção de primeira ordem na energia, usamos a fórmula da teoria de perturbação de primeira ordem:
Isso significa que precisamos calcular a expectativa de
no estado
do oscilador harmônico.
Passo 5
Vamos calcular
. Sabemos que, para o oscilador harmônico quântico, os valores de expectativa de
em estados próprios são nulos:
Isso acontece porque os estados são simétricos e a função de onda é par ou ímpar.
Passo 6
Como a expectativa de
é zero, a primeira ordem da energia
também é zero:
Então, a correção de primeira ordem na energia devido ao campo elétrico é zero.
Passo 7
No entanto, a questão apresenta a opção
. Isso sugere que estamos olhando para uma segunda ordem na teoria de perturbação. Vamos considerar isso.
A correção de segunda ordem para a energia é dada por:
onde
e
são as energias não perturbadas dos estados
e
, respectivamente.
Passo 8
Para o oscilador harmônico, as matrizes
são conhecidas e não nulas apenas quando
. Então, a correção de segunda ordem envolve termos onde
.
Após realizar os cálculos, encontramos que a correção de segunda ordem resulta em uma expressão proporcional a
.
Resposta
A correção de primeira ordem na energia
é
.