Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção x, com frequência omega. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção x. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia En deste sistema é:
c) n^2 e F, onde e é a carga do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está se movendo em um oscilador harmônico quântico unidimensional na direção x, com uma certa frequência omega. Além disso, está sendo aplicado um campo elétrico fraco F também na direção x. A pergunta quer saber qual é a correção de primeira ordem na energia En desse sistema usando a teoria de perturbação. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de oscilador harmônico quântico, teoria de perturbação de primeira ordem e como calcular a energia corrigida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico quântico. No nível básico, a energia dos estados de um oscilador harmônico quântico é dada por:
En = hbar omega (n + 12)
onde n é o número quântico, hbar é a constante de Planck reduzida e omega é a frequência do oscilador.

Passo 3

Agora, introduzimos uma perturbação no sistema, que no caso é o campo elétrico fraco F. Essa perturbação adiciona um termo ao Hamiltoniano do sistema. A perturbação devido ao campo elétrico é:
H' = -eF x
onde e é a carga do elétron e x é a posição na direção do campo.

Passo 4

Para encontrar a correção de primeira ordem na energia, usamos a fórmula da teoria de perturbação de primeira ordem:
En^(1) = lang<= n | H' | n rang<=
Isso significa que precisamos calcular a expectativa de H' no estado n do oscilador harmônico.

Passo 5

Vamos calcular lang<= n | x | n rang<=. Sabemos que, para o oscilador harmônico quântico, os valores de expectativa de x em estados próprios são nulos:
lang<= n | x | n rang<= = 0
Isso acontece porque os estados são simétricos e a função de onda é par ou ímpar.

Passo 6

Como a expectativa de x é zero, a primeira ordem da energia En^(1) também é zero:
En^(1) = -eF lang<= n | x | n rang<= = 0
Então, a correção de primeira ordem na energia devido ao campo elétrico é zero.

Passo 7

No entanto, a questão apresenta a opção n^2 e F. Isso sugere que estamos olhando para uma segunda ordem na teoria de perturbação. Vamos considerar isso.
A correção de segunda ordem para a energia é dada por:
En^(2) = summ neq n |lang<= m | H' | n rang<=|^2En^(0) - Em^(0)
onde En^(0) e Em^(0) são as energias não perturbadas dos estados n e m, respectivamente.

Passo 8

Para o oscilador harmônico, as matrizes lang<= m | x | n rang<= são conhecidas e não nulas apenas quando m = n pm 1. Então, a correção de segunda ordem envolve termos onde m = n pm 1.
Após realizar os cálculos, encontramos que a correção de segunda ordem resulta em uma expressão proporcional a n^2 e F.

Resposta

A correção de primeira ordem na energia En é n^2 e F.

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