Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura L=150 nm e sua função de onda dentro do poço é dada por psin(x)=raiz2L sen(n piL x) e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado ( n=2 ) na região entre x1=0,00 e x2=0,39 L ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente está lidando com a física quântica, mais especificamente com o conceito de poço de potencial onde um elétron está aprisionado. A função de onda do elétron nos ajuda a calcular a probabilidade de encontrá-lo em uma certa região. Para esse problema, vamos precisar entender como calcular a probabilidade usando a função de onda fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de onda do elétron no estado excitado. O enunciado nos dá a função de onda para qualquer estado $ n $:
n
Como queremos o primeiro estado excitado, isso significa que $ n = 2 $. Então, a função de onda para $ n = 2 $ fica:
psin(x)=raiz2L sin(n piL x)

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região $ [x_1, x_2] $ é dada pela integral do quadrado da função de onda nessa região:
[x1, x2]
No nosso caso, $ x_1 = 0 $ e $ x_2 = 0,39 L $. Então, precisamos calcular:
P(x1, x2) = integralx1^x2 |psin(x)|^2 dx

Passo 4

Vamos calcular o quadrado da função de onda $ \psi_{2}(x) $:
psi2(x)

Passo 5

Substituindo $ |\psi_{2}(x)|^2 $ na integral da probabilidade, temos:
|psi2(x)|^2

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na nossa integral:
P(0, 0,39L) = integral0^0,39L 2L cdot 1 - cos(4 piL x)2 dx = 1L integral0^0,39L (1 - cos(4 piL x)) dx

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
P(0, 0,39L) = 1L ( integral0^0,39L 1 , dx - integral0^0,39L cos(4 piL x) dx )
Calculando cada parte:
  1. integral0^0,39L 1 , dx = 0,39L
  2. integral0^0,39L cos(4 piL x) dx = [ sin(4 piL x)4 piL ]0^0,39L = L4 pi ( sin(4 pi cdot 0,39) - sin(0) )

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
  1. integral0^0,39L 1 , dx = 0,39L
  2. Calculando $ \sin(4 \pi \cdot 0,39) $:
sin(4 pi cdot 0,39)
4 pi cdot 0,39 approx 4 cdot 3,1416 cdot 0,39 approx 4,897
Então,
sin(4,897) approx -0,982

Passo 9

Agora, substituindo de volta na expressão da probabilidade:
P(0, 0,39L) = 1L (0,39L - (-0,982L4 pi)) = 0,39 + 0,9824 pi
Calculando o valor numérico:
0,9824 pi approx 0,98212,566 approx 0,0782
P(0, 0,39L) approx 0,39 + 0,0782 = 0,4682

Resposta

A probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado na região entre $ x_{1}=0 $ e $ x_{2}=0,39L $ é aproximadamente 46,82%.

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