Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura
e sua função de onda dentro do poço é dada por
e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado (
) na região entre
e
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente está lidando com a física quântica, mais especificamente com o conceito de poço de potencial onde um elétron está aprisionado. A função de onda do elétron nos ajuda a calcular a probabilidade de encontrá-lo em uma certa região. Para esse problema, vamos precisar entender como calcular a probabilidade usando a função de onda fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função de onda do elétron no estado excitado. O enunciado nos dá a função de onda para qualquer estado $ n $:
Como queremos o primeiro estado excitado, isso significa que $ n = 2 $. Então, a função de onda para $ n = 2 $ fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região $ [x_1, x_2] $ é dada pela integral do quadrado da função de onda nessa região:
No nosso caso, $ x_1 = 0 $ e $ x_2 = 0,39 L $. Então, precisamos calcular:
Passo 4
Vamos calcular o quadrado da função de onda $ \psi_{2}(x) $:
Passo 5
Substituindo $ |\psi_{2}(x)|^2 $ na integral da probabilidade, temos:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
-
-
Calculando $ \sin(4 \pi \cdot 0,39) $:
Então,
Passo 9
Agora, substituindo de volta na expressão da probabilidade:
Calculando o valor numérico:
Resposta
A probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado na região entre $ x_{1}=0 $ e $ x_{2}=0,39L $ é aproximadamente 46,82%.