Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura
e sua função de onda dentro do poço é dada por
e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado (
) na região entre
e
?
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:\n
A função de onda dentro do poço é
A função de onda dentro do poço é
e é nula fora do poço. A largura do poço é
. O estado pedido é o primeiro estado excitado, ou seja
. A região onde queremos a probabilidade é entre
e
.\n
Pergunta: Qual é a probabilidade de detectar o elétron no estado no intervalo
?
Pergunta: Qual é a probabilidade de detectar o elétron no estado
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar:\n
Em mecânica quântica a probabilidade de encontrar a partícula entre e
é dada por
Em mecânica quântica a probabilidade de encontrar a partícula entre
Aqui
é a densidade de probabilidade. A constante
na função de onda é o fator de normalização: ela garante que a integral de
em todo o poço vale 1.
Passo 3
Escrever a integral específica para
e os limites dados:\n
Como , temos
Como
Passo 4
Integração usando identidade trigonométrica (a aula rápida):\n
Usamos a identidade
Usamos a identidade
porque integrar
é direto. Substituindo
obtemos
(Explicação: integrar
dá
. Para
, a primitiva é
.)
Passo 5
Aplicar os limites na primitiva e simplificar:\n
Usando a primitiva acima em até
e multiplicando por
, obtemos (fazendo
)
Usando a primitiva acima em
Agora note que
e
. Portanto
(Observação: a expressão acima é a forma final analítica antes de avaliarmos o seno numericamente. A unidade
cancelou, então o valor de
em nm não é necessário para a conta.)
Passo 6
Tratar o valor do seno e simplificar o sinal:\n
Usamos . Logo
Usamos
Agora precisamos apenas avaliar numericamente
.
Passo 7
Avaliação numérica (passo a passo para você saber fazer sem calculadora grosseira):\n
Calcule . Em seguida
Calcule
Então o termo de correção é
Mas atenção: na linha do Passo 5 tínhamos fator
. Repare que ao substituir
no desenvolvimento anterior também aparece a forma alternativa
dependendo da manipulação; aqui usamos a forma correta obtida no Passo 5. Substituindo no
obtemos a expressão numérica a combinar com
:
(Deixei a soma final para a seção de resposta.)