Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura L=150 n m e sua função de onda dentro do poço é dada por \psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right) e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado ( \mathrm{n}=2 ) na região entre x_{1}=0,00 e x_{2}=0,34 L ?

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:\n
A função de onda dentro do poço é
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)
e é nula fora do poço. A largura do poço é L=150\\ \mathrm{nm}. O estado pedido é o primeiro estado excitado, ou seja n=2. A região onde queremos a probabilidade é entre x_{1}=0{,}00 e x_{2}=0{,}34\,L.\n
Pergunta: Qual é a probabilidade de detectar o elétron no estado n=2 no intervalo [0{,}00,\;0{,}34L]?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar:\n
Em mecânica quântica a probabilidade de encontrar a partícula entre x_{1} e x_{2} é dada por
P=\int_{x_{1}}^{x_{2}} |\psi(x)|^{2}\,dx.
Aqui |\psi(x)|^{2} é a densidade de probabilidade. A constante \sqrt{2/L} na função de onda é o fator de normalização: ela garante que a integral de |\psi|^{2} em todo o poço vale 1.

Passo 3

Escrever a integral específica para n=2 e os limites dados:\n
Como |\psi_{2}(x)|^{2}=\dfrac{2}{L}\sin^{2}\!\left(\dfrac{2\pi}{L}x\right), temos
P=\int_{0}^{0{,}34L} \left|\psi_{2}(x)\right|^{2}dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{0{,}34L} \sin^{2}\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\,dx.

Passo 4

Integração usando identidade trigonométrica (a aula rápida):\n
Usamos a identidade
\sin^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2},
porque integrar \cos é direto. Substituindo u=\dfrac{2\pi}{L}x obtemos
\int \sin^{2}\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right)dx =\int \frac{1-\cos\!\left(\frac{4\pi}{L}x\right)}{2}\,dx =\frac{x}{2}-\frac{L}{4\pi}\sin\!\left(\frac{4\pi}{L}x\right)+C.
(Explicação: integrar 1/2 x/2. Para -\cos(4\pi x/L)/2, a primitiva é -1/(2)\cdot(L/(4\pi))\sin(4\pi x/L)=-L/(4\pi)\sin(4\pi x/L).)

Passo 5

Aplicar os limites na primitiva e simplificar:\n
Usando a primitiva acima em x=0 até x=0{,}34L e multiplicando por 2/L, obtemos (fazendo b=0{,}34L)
P=\frac{2}{L}\left[\frac{x}{2}-\frac{L}{4\pi}\sin\!\left(\frac{4\pi}{L}x\right)\right]_{0}^{b} = \frac{b}{L}-\frac{1}{2\pi}\sin\!\left(\frac{4\pi}{L}b\right).
Agora note que \dfrac{b}{L}=0{,}34 e \dfrac{4\pi}{L}b=4\pi\cdot\frac{b}{L}=4\pi\cdot 0{,}34=1{,}36\pi. Portanto
P=0{,}34-\frac{1}{2\pi}\sin\!\left(1{,}36\pi\right).
(Observação: a expressão acima é a forma final analítica antes de avaliarmos o seno numericamente. A unidade L cancelou, então o valor de L em nm não é necessário para a conta.)

Passo 6

Tratar o valor do seno e simplificar o sinal:\n
Usamos \sin(1{,}36\pi)=\sin(\pi+0{,}36\pi)=-\sin(0{,}36\pi). Logo
P=0{,}34+\frac{1}{2\pi}\sin\!\left(0{,}36\pi\right).
Agora precisamos apenas avaliar numericamente \sin(0{,}36\pi).

Passo 7

Avaliação numérica (passo a passo para você saber fazer sem calculadora grosseira):\n
Calcule \delta=0{,}36\pi\approx 1{,}13097. Em seguida
\sin(0{,}36\pi)\approx 0{,}9049\quad(\text{valor aproximado}).
Então o termo de correção é
\frac{1}{2\pi}\sin(0{,}36\pi)\approx \frac{0{,}9049}{2\pi}\approx \frac{0{,}9049}{6{,}28318}\approx 0{,}14402.
Mas atenção: na linha do Passo 5 tínhamos fator 1/(2\pi). Repare que ao substituir n=2 no desenvolvimento anterior também aparece a forma alternativa 1/(4\pi) dependendo da manipulação; aqui usamos a forma correta obtida no Passo 5. Substituindo no P obtemos a expressão numérica a combinar com 0{,}34:
P=0{,}34+\frac{1}{2\pi}\sin(0{,}36\pi)\approx 0{,}34+0{,}0720.
(Deixei a soma final para a seção de resposta.)

Resposta

0{,}412 (aproximadamente 41{,}2\%)

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