Um elétron está aprisionado em um poço infinito unidimensional, a energia do estado fundamental é
. Qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: um elétron está aprisionado num poço infinito unidimensional.
- Informação: a energia do estado fundamental é
. - Pergunta: qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Observações importantes do enunciado: o fóton é emitido quando o elétron passa de um estado de maior energia para um estado de menor energia; queremos o maior comprimento de onda possível (ou seja, o menor valor de energia do fóton emitido) entre todas as transições permitidas no poço.
Passo 2
Entendendo como são as energias dos níveis do poço infinito (passo didático):
- Para um elétron num poço infinito unidimensional de comprimento
, os níveis de energia quantizados são dados por
onde
,
é a constante de Planck e
é a massa do elétron.
- Note que cada
é proporcional a . Como o enunciado já nos dá , podemos escrever, de forma simples e muito útil,
Explicação: aqui
é a energia para
; substituindo
na fórmula geral obtém-se
, e daí
.
Passo 3
Energia do fóton emitido por uma transição entre dois níveis (aula rápida):
- Se o elétron faz uma transição de um nível inicial
(maior energia) para um nível final (menor energia), a energia do fóton emitido é a diferença de energias:
- Procuramos o maior comprimento de onda possível, que corresponde ao menor
entre todos os pares inteiros .
Passo 4
Determinar qual transição dá a menor energia possível (explicação intuitiva):
- Os possíveis valores de
para são números inteiros positivos como porque, por exemplo, para obtemos ; para obtemos , e assim por diante. - Esses valores crescem quando
e aumentam; portanto o menor valor possível é obtido para a menor diferença de índices possível com , isto é e . - Conclusão: a transição que produz o fóton de menor energia (logo maior comprimento de onda) é a transição do primeiro estado excitado para o fundamental:
.
Passo 5
Calcular a energia do fóton para a transição
:
- Usando
,
- Substituindo
,
Passo 6
Converter a energia do fóton para joules e usar
(fórmula e explicação):
- Fórmula: a relação entre energia de fóton e comprimento de onda é
onde
é a constante de Planck (
) e
a velocidade da luz (
). Aqui
deve estar em joules para usar essas constantes em SI.
- Converter
de para : . Logo
Passo 7
Cálculo numérico do comprimento de onda (passo a passo):
- Calcular
:
- Aplicar
:
- Converter para nanômetros (
):
Passo extra de checagem rápida (truque útil na prova): usar
. Com
temos
, consistente com o cálculo anterior.