Um elétron está aprisionado em um poço infinito unidimensional, a energia do estado fundamental é 17,5 \mathrm{eV}. Qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: um elétron está aprisionado num poço infinito unidimensional.
  • Informação: a energia do estado fundamental é \,E_1 = 17{,}5\\ \mathrm{eV}.
  • Pergunta: qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Observações importantes do enunciado: o fóton é emitido quando o elétron passa de um estado de maior energia para um estado de menor energia; queremos o maior comprimento de onda possível (ou seja, o menor valor de energia do fóton emitido) entre todas as transições permitidas no poço.

Passo 2

Entendendo como são as energias dos níveis do poço infinito (passo didático):
  • Para um elétron num poço infinito unidimensional de comprimento L, os níveis de energia quantizados são dados por
E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2},
onde n=1,2,3,\dots, h é a constante de Planck e m é a massa do elétron.
  • Note que cada E_n é proporcional a n^2. Como o enunciado já nos dá E_1, podemos escrever, de forma simples e muito útil,
E_n = n^2 E_1.
Explicação: aqui E_1 é a energia para n=1; substituindo n=1 na fórmula geral obtém-se E_1=\dfrac{h^2}{8mL^2}, e daí E_n = n^2 E_1.

Passo 3

Energia do fóton emitido por uma transição entre dois níveis (aula rápida):
  • Se o elétron faz uma transição de um nível inicial n_i (maior energia) para um nível final n_f (menor energia), a energia do fóton emitido é a diferença de energias:
E_\gamma = E_{n_i}-E_{n_f} = \bigl(n_i^2 - n_f^2\bigr) E_1.
  • Procuramos o maior comprimento de onda possível, que corresponde ao menor E_\gamma>0 entre todos os pares inteiros n_i>n_f.

Passo 4

Determinar qual transição dá a menor energia possível (explicação intuitiva):
  • Os possíveis valores de \bigl(n_i^2-n_f^2\bigr) para n_i>n_f são números inteiros positivos como 3,5,7,9,\dots porque, por exemplo, para n_i=2,n_f=1 obtemos 2^2-1^2=3; para n_i=3,n_f=2 obtemos 9-4=5, e assim por diante.
  • Esses valores crescem quando n_i e n_f aumentam; portanto o menor valor possível é obtido para a menor diferença de índices possível com n_f\ge1, isto é n_i=2 e n_f=1.
  • Conclusão: a transição que produz o fóton de menor energia (logo maior comprimento de onda) é a transição do primeiro estado excitado para o fundamental: 2\to1.

Passo 5

Calcular a energia do fóton para a transição 2\to1:
  • Usando E_n = n^2 E_1,
E_\gamma = E_2 - E_1 = (2^2 - 1^2)E_1 = 3 E_1.
  • Substituindo \,E_1 = 17{,}5\\ \mathrm{eV},
E_\gamma = 3 \times 17{,}5\\ \mathrm{eV} = 52{,}5\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Converter a energia do fóton para joules e usar \lambda = \dfrac{hc}{E_\gamma} (fórmula e explicação):
  • Fórmula: a relação entre energia de fóton e comprimento de onda é
\lambda = \frac{h c}{E_\gamma},
onde h é a constante de Planck ( h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s}) e c a velocidade da luz ( c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Aqui E_\gamma deve estar em joules para usar essas constantes em SI.
  • Converter E_\gamma de \mathrm{eV} para \mathrm{J}: 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Logo
E_\gamma = 52{,}5\\ \mathrm{eV} = 52{,}5 \times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 8{,}4114273285\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Cálculo numérico do comprimento de onda (passo a passo):
  • Calcular h c:
h c = (6{,}62607015\times10^{-34})(2{,}99792458\times10^{8}) = 1{,}986445824\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Aplicar \lambda = \dfrac{h c}{E_\gamma}:
\lambda = \frac{1{,}986445824\times10^{-25}}{8{,}4114273285\times10^{-18}}\\ \mathrm{m} \approx 2{,}3619\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda \approx 23{,}62\\ \mathrm{nm}.
Passo extra de checagem rápida (truque útil na prova): usar \lambda(\mathrm{nm}) \approx \dfrac{1240}{E(\mathrm{eV})}. Com E=52{,}5\\ \mathrm{eV} temos \lambda \approx 1240/52{,}5 \approx 23{,}62\\ \mathrm{nm}, consistente com o cálculo anterior.

Resposta

23{,}62\\ \mathrm{nm}

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