Duas ondas,
\begin{array}{ll} & y_{1}=(2,50 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}[(25,1 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) x-(440 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t] \\\ \mathrm{e} \quad & y_{2}=(1,50 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}[(25,1 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) x+(440 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t] \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas e pede implicitamente que a gente faça a superposição e analise a onda resultante (isto é o que tipicamente se pede neste tipo de exercício). Dados fornecidos (peguei-os diretamente do enunciado):
y_{1}=(2{,}50\\ \mathrm{mm})\sin\big[(25{,}1\\ \mathrm{rad/m})x-(440\\ \mathrm{rad/s})t\big]
y_{2}=(1{,}50\\ \mathrm{mm})\sin\big[(25{,}1\\ \mathrm{rad/m})x+(440\\ \mathrm{rad/s})t\big]
Perguntas que vamos responder:
  1. determinar a expressão da onda resultante y(x,t)=y_1+y_2 em forma conveniente;
  2. obter a amplitude espacial (envelope) e analisar máximos, mínimos e se existem nós (pontos de amplitude zero);
  3. calcular comprimento de onda \lambda, frequência f e velocidade de propagação v;
  4. dar fórmulas/posições dos pontos de máximo e mínimo de amplitude.

Passo 2

Vamos somar as duas ondas usando identidades trigonométricas. Para facilitar, defino:
A_1=2{,}50\\ \mathrm{mm},\quad A_2=1{,}50\\ \mathrm{mm},
k=25{,}1\\ \mathrm{rad/m},\quad \omega=440\\ \mathrm{rad/s}.
Escrevendo y_1 e y_2 de forma explícita:
y_1=A_1\sin(kx-\omega t),\qquad y_2=A_2\sin(kx+\omega t).
Use a identidade
\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta.
Aplicando a cada termo:
y_1=A_1\big[\sin(kx)\cos(\omega t)-\cos(kx)\sin(\omega t)\big],
y_2=A_2\big[\sin(kx)\cos(\omega t)+\cos(kx)\sin(\omega t)\big].
Somando y=y_1+y_2 e agrupando os coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t):
y=(A_1+A_2)\sin(kx)\cos(\omega t)+(-A_1+A_2)\cos(kx)\sin(\omega t).

Passo 3

Agora substituo os valores numéricos de A_1 e A_2:
A_1+A_2=2{,}50+1{,}50=4{,}00\\ \mathrm{mm},
-A_1+A_2=-2{,}50+1{,}50=-1{,}00\\ \mathrm{mm}.
Logo
y=(4{,}00\\ \mathrm{mm})\sin(kx)\cos(\omega t)+(-1{,}00\\ \mathrm{mm})\cos(kx)\sin(\omega t).
Coloco isso em forma mais curta definindo
\alpha(x)=(4{,}00\\ \mathrm{mm})\sin(kx),\qquad \beta(x)=(-1{,}00\\ \mathrm{mm})\cos(kx),
assim
y=\alpha(x)\cos(\omega t)+\beta(x)\sin(\omega t).

Passo 4

Uma forma muito útil é escrever a soma como uma amplitude dependente de x multiplicando uma função harmônica do tempo com defasagem dependente de x. Isto é, queremos
y=R(x)\sin\big(\omega t+\varphi(x)\big),
onde R(x) é a amplitude espacial (envelope) e \varphi(x) é a fase espacial. Para obter R usamos
R(x)=\sqrt{\alpha(x)^2+\beta(x)^2}.
Substituindo \alpha e \beta:
R(x)=\sqrt{\big(4{,}00\\ \mathrm{mm}\big)^2\sin^2(kx)+\big(-1{,}00\\ \mathrm{mm}\big)^2\cos^2(kx)}.
Desenvolvendo e simplificando (lembre que \cos^2+\sin^2=1):
R(x)=\sqrt{16\sin^2(kx)+1\cos^2(kx)}\\ \mathrm{mm} =\sqrt{16\sin^2(kx)+\big(1-\sin^2(kx)\big)}\\ \mathrm{mm}
= \sqrt{1+15\sin^2(kx)}\\ \mathrm{mm}.
Para a fase \varphi(x) usamos a relação (obtida comparando coeficientes)
\tan\varphi(x)=\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\frac{4\sin(kx)}{-1\cos(kx)}=-4\tan(kx),
portanto
\varphi(x)=\arctan\big(-4\tan(kx)\big).
Assim a forma final da onda resultante é
y(x,t)=\sqrt{1+15\sin^2(kx)}\\ \mathrm{mm}\;\sin\big(\omega t+\arctan(-4\tan(kx))\big).
(Observação didática: essa expressão diz que a amplitude da oscilação no tempo depende da posição x por meio de R(x); a fase também muda com x.)

Passo 5

Análise dos máximos e mínimos da amplitude R(x):
R(x)=\sqrt{1+15\sin^2(kx)}\\ \mathrm{mm}.
  • Valor mínimo de R: ocorre quando \sin^2(kx)=0 (isto é, \sin(kx)=0), então
R_{\min}=\sqrt{1+15\cdot 0}=1{,}00\\ \mathrm{mm}.
As posições correspondentes são as que satisfazem kx=n\pi, ou seja
x_{n}^{(\min)}=\frac{n\pi}{k},\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Valor máximo de R: ocorre quando \sin^2(kx)=1 (isto é, \sin(kx)=\pm1), então
R_{\max}=\sqrt{1+15\cdot 1}=4{,}00\\ \mathrm{mm}.
As posições correspondentes satisfazem kx=\pi/2+n\pi, logo
x_{n}^{(\max)}=\frac{\pi/2+n\pi}{k},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Observação importante: R_{\min}=1{,}00\\ \mathrm{mm}\neq 0. Logo não há nós perfeitos (pontos de amplitude zero) — por causa das amplitudes iniciais serem diferentes há apenas interferência parcialmente destrutiva em algumas posições, não cancelamento total.

Passo 6

Cálculos de comprimento de onda, frequência e velocidade (fórmulas básicas que vou lembrar e aplicar):
\lambda=\frac{2\pi}{k},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad v=\frac{\omega}{k}.
Substituindo k=25{,}1\\ \mathrm{rad/m} e \omega=440\\ \mathrm{rad/s}:
\lambda=\frac{2\pi}{25{,}1}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}2505\\ \mathrm{m}\quad(25{,}05\\ \mathrm{cm}),
f=\frac{440}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 70{,}03\\ \mathrm{Hz},
v=\frac{440}{25{,}1}\\ \mathrm{m/s}\approx 17{,}53\\ \mathrm{m/s}.
Também é útil notar que a distância entre máximos consecutivos de R(x) é \Delta x=\pi/k=\lambda/2\approx 0{,}1253\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo físico e dicas para prova (curto e prático):
  • A soma de duas ondas com mesmas k e \omega mas sentidos opostos gera uma oscilação local cujo módulo (amplitude) depende de x e oscila no tempo com frequência \omega.
  • Se as amplitudes forem iguais, teríamos um modo estacionário com nós (zeros). Aqui as amplitudes são diferentes, por isso não existem nós completos; a amplitude espacial varia entre 1{,}00\\ \mathrm{mm} e 4{,}00\\ \mathrm{mm}.
  • Para calcular rapidamente: expandir com \sin(kx\pm\omega t) em termos de \sin kx\cos\omega t e \cos kx\sin\omega t, agrupar coeficientes, calcular R(x)=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}. Isso é um padrão que vale para qualquer soma de duas senos com mesmas k e \omega.

Resposta

y(x,t)=\sqrt{1+15\sin^2\big(25{,}1\,x\big)}\\ \mathrm{mm}\;\sin\!\big(440\,t+\arctan(-4\tan(25{,}1\,x))\big)\n
R_{\min}=1{,}00\\ \mathrm{mm} at x=\dfrac{n\pi}{25{,}1}\n
R_{\max}=4{,}00\\ \mathrm{mm} at x=\dfrac{\pi/2+n\pi}{25{,}1}\n
\lambda=\dfrac{2\pi}{25{,}1}\approx 0{,}2505\\ \mathrm{m}\n
f=\dfrac{440}{2\pi}\approx 70{,}03\\ \mathrm{Hz}\n
v=\dfrac{440}{25{,}1}\approx 17{,}53\\ \mathrm{m/s}

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