Duas ondas,
Passo 1
O enunciado nos dá duas ondas e pede implicitamente que a gente faça a superposição e analise a onda resultante (isto é o que tipicamente se pede neste tipo de exercício). Dados fornecidos (peguei-os diretamente do enunciado):
Perguntas que vamos responder:
- determinar a expressão da onda resultante
em forma conveniente; - obter a amplitude espacial (envelope) e analisar máximos, mínimos e se existem nós (pontos de amplitude zero);
- calcular comprimento de onda
, frequência e velocidade de propagação ; - dar fórmulas/posições dos pontos de máximo e mínimo de amplitude.
Passo 2
Vamos somar as duas ondas usando identidades trigonométricas. Para facilitar, defino:
Escrevendo
e
de forma explícita:
Use a identidade
Aplicando a cada termo:
Somando
e agrupando os coeficientes de
e
:
Passo 3
Agora substituo os valores numéricos de
e
:
Logo
Coloco isso em forma mais curta definindo
assim
Passo 4
Uma forma muito útil é escrever a soma como uma amplitude dependente de
multiplicando uma função harmônica do tempo com defasagem dependente de
. Isto é, queremos
onde
é a amplitude espacial (envelope) e
é a fase espacial. Para obter
usamos
Substituindo
e
:
Desenvolvendo e simplificando (lembre que
):
Para a fase
usamos a relação (obtida comparando coeficientes)
portanto
Assim a forma final da onda resultante é
(Observação didática: essa expressão diz que a amplitude da oscilação no tempo depende da posição
por meio de
; a fase também muda com
.)
Passo 5
Análise dos máximos e mínimos da amplitude
:
- Valor mínimo de
: ocorre quando (isto é, ), então
As posições correspondentes são as que satisfazem
, ou seja
- Valor máximo de
: ocorre quando (isto é, ), então
As posições correspondentes satisfazem
, logo
Observação importante:
. Logo não há nós perfeitos (pontos de amplitude zero) — por causa das amplitudes iniciais serem diferentes há apenas interferência parcialmente destrutiva em algumas posições, não cancelamento total.
Passo 6
Cálculos de comprimento de onda, frequência e velocidade (fórmulas básicas que vou lembrar e aplicar):
Substituindo
e
:
Também é útil notar que a distância entre máximos consecutivos de
é
.
Passo 7
Resumo físico e dicas para prova (curto e prático):
- A soma de duas ondas com mesmas
e mas sentidos opostos gera uma oscilação local cujo módulo (amplitude) depende de e oscila no tempo com frequência . - Se as amplitudes forem iguais, teríamos um modo estacionário com nós (zeros). Aqui as amplitudes são diferentes, por isso não existem nós completos; a amplitude espacial varia entre
e . - Para calcular rapidamente: expandir com
em termos de e , agrupar coeficientes, calcular . Isso é um padrão que vale para qualquer soma de duas senos com mesmas e .