Considere a elipse
dada pela equação canônica
no plano cartesiano
, onde
. Sejam
as superfícies obtidas no espaço euclideano tridimensional
pela rotação de
em torno dos eixos coordenados
e
, respectivamente.
Mostre que a área do elipsoide
é dada por
Mostre que a área do elipsoide
Passo 1
Nesta questão queremos a área do elipsoide S_y gerado pela rotação da elipse E dada por
em torno do eixo Oy. O conteúdo principal é a fórmula de área de superfície de revolução
, além de cálculo de derivada e substituição trigonométrica para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a elipse como função de x:
. Calculamos sua derivada:
Logo
.
Passo 3
Para girar em torno de Oy, o raio ao eixo é
. Pela simetria em x usamos
Substituindo
e simplificando, obtém-se
portanto
Passo 4
Fazendo a substituição trigonométrica
, temos
e
. A integral converte-se em
Passo 5
Esse integral é exatamente o que aparece na área de um esferoide oblato (semi-eixo maior
, menor
). O resultado padrão é
Passo 6
Basta agora usar
e
. Em termos de
isso dá
Resposta
2\pi\Bigl(a{2}+\frac{a,b{2}}{2\sqrt{a{2}-b{2}}}\ln\Bigl(\frac{a+\sqrt{a{2}-b{2}}}{a-\sqrt{a{2}-b{2}}}\Bigr)\Bigr)