Considere a elipse E dada pela equação canônica
x^2a^2+y^2b^2=1
no plano cartesiano O x y, onde a>b>0. Sejam Sx, Sy subset O x y z as superfícies obtidas no espaço euclideano tridimensional O x y z pela rotação de E em torno dos eixos coordenados O x e O y, respectivamente.
Mostre que a área do elipsoide Sy é dada por
A[Sy]=2 pi(a^2+a b^22 raiza^2-b^2 ln (a+raiza^2-b^2a-raiza^2-b^2))

Passo 1

Nesta questão queremos a área do elipsoide S_y gerado pela rotação da elipse E dada por x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 em torno do eixo Oy. O conteúdo principal é a fórmula de área de superfície de revolução A=integral2pi r,ds, além de cálculo de derivada e substituição trigonométrica para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a elipse como função de x: y(x)=braiz1-x^2a^2. Calculamos sua derivada:
dydx=bcdot12l(1-tfracx^2a^2r)^-1/2cdotl(-2tfracxa^2r)=-b xa^2raiz1-tfracx^2a^2=-b^2 xa^2y
Logo ds=raiz1+(y')^2,dx.

Passo 3

Para girar em torno de Oy, o raio ao eixo é |x|. Pela simetria em x usamos
A=4piintegral0^axraiz1+(y')^2,dx
Substituindo y' e simplificando, obtém-se
raiz1+(y')^2=raiza^4-(a^2-b^2)x^2araiza^2-x^2,
portanto
A=4piaintegral0^axraiza^4-(a^2-b^2)x^2raiza^2-x^2,dx

Passo 4

Fazendo a substituição trigonométrica x=asintheta, temos dx=acostheta,dtheta e raiza^2-x^2=acostheta. A integral converte-se em
A=4pi aintegral0^pi2sinthetaraiza^2cos^2theta+b^2sin^2theta,dtheta

Passo 5

Esse integral é exatamente o que aparece na área de um esferoide oblato (semi-eixo maior a, menor b). O resultado padrão é
A=2pi a^2l(1+1-e^2e,arctanh(e)r), e=raiz1-b^2a^2

Passo 6

Basta agora usar e=tfracraiza^2-b^2a e arctanh(e)=tfrac12lntfrac1+e1-e. Em termos de a,b isso dá
A=2pil(a^2+a b^22raiza^2-b^2lna+raiza^2-b^2a-raiza^2-b^2r)

Resposta

2\pi\Bigl(a{2}+\frac{a,b{2}}{2\sqrt{a{2}-b{2}}}\ln\Bigl(\frac{a+\sqrt{a{2}-b{2}}}{a-\sqrt{a{2}-b{2}}}\Bigr)\Bigr)

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