no plano cartesiano , onde . Sejam as superfícies obtidas no espaço euclideano tridimensional pela rotação de em torno dos eixos coordenados e , respectivamente.
Conclua que, no limite quando , ambas as expressões acima tendem para a área da esfera de raio :
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao girar a elipse em torno de e de , as áreas geradas e tendem para a área da esfera de raio quando . O conteúdo é área de superfície de revolução e limite de integrais dependentes de parâmetro.
Passo 2
Para (revolução em torno de ) parametrizamos a metade superior da elipse como , . A fórmula de área de revolução é
Calculando e simplificando, obtém-se
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Passo 3
Para achar , note que . Então integrando em e usando convergência pontual,
Assim limato bA[Sx]=2pi1bintegral-b^bb^2,dx=2pi1bcdot b^2cdot(2b)=4pi b^2
Passo 4
Para Sy (revolução em torno de O y) o raciocínio é análogo. Basta parametrizar a metade direita por x(y)=araiz1-y^2/b^2, aplicar
$$
e ver que, ao levar A[Sy]=2piintegral-b^bx(y)raiz1+(x'(y))^2,dy, , o integrando tende a ato b em b^2 e o fator externo [-b,b]. O cálculo leva de novo a 2pi,(a/b^2)to2pi/b.
Passo 5
Portanto, ambos os limites são iguais à área da esfera de raio b.