Considere a elipse E dada pela equação canônica
x^2a^2+y^2b^2=1
no plano cartesiano O x y, onde a>b>0. Sejam Sx, Sy subset O x y z as superfícies obtidas no espaço euclideano tridimensional O x y z pela rotação de E em torno dos eixos coordenados O x e O y, respectivamente.
Conclua que, no limite quando a b>0, ambas as expressões acima tendem para a área da esfera de raio b :
lim a b A[Sx]=lim a b A[Sy]=4 pi b^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao girar a elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 em torno de O x e de O y, as áreas geradas A[Sx] e A[Sy] tendem para a área da esfera de raio b quando ato b. O conteúdo é área de superfície de revolução e limite de integrais dependentes de parâmetro.

Passo 2

Para Sx (revolução em torno de O x) parametrizamos a metade superior da elipse como y(x)=b,raiz1 - x^2/a^2, xin[-a,a]. A fórmula de área de revolução é
A[Sx]=2piintegral-a^ay(x),raiz1+(y'(x))^2,dx
Calculando
y'(x)=-b,xa^2raiz1-x^2/a^2 e simplificando, obtém-se
yraiz1+(y')^2=ba^2,raiza^4-(a^2-b^2)x^2
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A[Sx]=2piba^2integral-a^araiza^4-(a^2-b^2)x^2,dx

Passo 3

Para achar limato bA[Sx], note que a^2-b^2to0. Então integrando em [-a,a]to[-b,b] e usando convergência pontual,
raiza^4-(a^2-b^2)x^2 xrightarrow[ato b] b^2,, ba^2tobb^2=1b
Assim
limato bA[Sx]=2pi1bintegral-b^bb^2,dx=2pi1bcdot b^2cdot(2b)=4pi b^2

Passo 4

Para Sy (revolução em torno de O y) o raciocínio é análogo. Basta parametrizar a metade direita por x(y)=araiz1-y^2/b^2, aplicar
$$A[S_y]=2\pi\int_{-b}{b}x(y)\sqrt{1+(x’(y))2},dy,
$$
e ver que, ao levar A[Sy]=2piintegral-b^bx(y)raiz1+(x'(y))^2,dy, , o integrando tende a ato b em b^2 e o fator externo [-b,b]. O cálculo leva de novo a 2pi,(a/b^2)to2pi/b.

Passo 5

Portanto, ambos os limites são iguais à área da esfera de raio b.

Resposta

4pi b^2

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