Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo principal é integração de funções racionais, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais após fatorar o denominador.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador usando soma de cubos:
. Em seguida, escrevemos a fração como
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, obtemos o sistema:
Passo 4
Resolvendo, achamos
,
e
. Logo
[\frac{x}{x3+1}=-\tfrac{1}{3}\frac{1}{x+1}+\frac{1/3,x+1/3}{x2-x+1}."]
Passo 5
Agora separamos a última fração decompondo o numerador:
Passo 6
Assim a integral fica
$$\int\frac{x}{x3+1},dx=-\tfrac{1}{3}\int\frac{dx}{x+1}+\tfrac{1}{6}\int\frac{2x-1}{x2-x+1},dx+\tfrac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2-x+1}.
$$
Passo 7
As duas primeiras são logaritmos:
$$ -\tfrac{1}{3}\ln|x+1|+\tfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1).
$$
Passo 8
Para a última, completamos o quadrado:
, e usamos
. Com
e
, o resultado é
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}.
$$
Resposta
-\tfrac{1}{3}\ln|x+1|+\tfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\tfrac{1}{\sqrt3}\arctan\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\biggr)+C