Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral xx^3+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral xx^3+1,dx. O conteúdo principal é integração de funções racionais, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador usando soma de cubos: x^3+1=(x+1)(x^2-x+1). Em seguida, escrevemos a fração como
xx^3+1=Ax+1+Bx+Cx^2-x+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2-x+1) e igualando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=0, -A+B+C=1, A+C=0

Passo 4

Resolvendo, achamos A=-tfrac13, B=tfrac13 e C=tfrac13. Logo
[\frac{x}{x3+1}=-\tfrac{1}{3}\frac{1}{x+1}+\frac{1/3,x+1/3}{x2-x+1}."]

Passo 5

Agora separamos a última fração decompondo o numerador:
x+1=tfrac12(2x-1)+tfrac32

Passo 6

Assim a integral fica
$$\int\frac{x}{x3+1},dx=-\tfrac{1}{3}\int\frac{dx}{x+1}+\tfrac{1}{6}\int\frac{2x-1}{x2-x+1},dx+\tfrac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2-x+1}.
$$

Passo 7

As duas primeiras são logaritmos:
$$ -\tfrac{1}{3}\ln|x+1|+\tfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1).
$$

Passo 8

Para a última, completamos o quadrado: x^2-x+1=(x-tfrac12)^2+tfrac34, e usamos integralduu^2+a^2=1aarctan u a. Com u=x-tfrac12 e a=tfracraiz32, o resultado é
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}.
$$

Resposta

-\tfrac{1}{3}\ln|x+1|+\tfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\tfrac{1}{\sqrt3}\arctan\biggl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\biggr)+C

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