Inverta a ordem de integração e calcule:
integral0^3 integraly^2^9 y cos (x^2) d x d y

Passo 1

A integral dupla que a gente tem é integral0^3integraly^2^9ycos(x^2),dx,dy. O conteúdo aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas (Fubini) e cálculo de integrais simples.

Passo 2

A região de integração é dada por 0 ≤ y ≤ 3 e para cada y, y² ≤ x ≤ 9. Se a gente desenhar no plano xy, é a parte de x entre a parábola x = y² e a reta x = 9, pra y de 0 a 3.
Para inverter, fixa um x. A condição y² ≤ x vira 0 ≤ y ≤ √x. E como y ≤ 3, o x máximo é 9. Como mínimo y=0 dá x ≥ 0. Logo x varia de 0 a 9.

Passo 3

A integral trocada fica:
integral0^3integraly^2^9ycos(x^2),dx,dy=integral0^9integral0^raizxycos(x^2),dy,dx

Passo 4

Agora a gente integra em y primeiro:
integral0^raizxy,dy=12l[y^2r]0^raizx=x2

Passo 5

Substituindo de volta, sobra
integral0^9x2cos(x^2),dx

Passo 6

Para resolver, usa u-substituição:
u=x^2, du=2x,dx
Logo
integral0^9x2cos(x^2),dx=14integral0^81cos(u),du=14l[sin(u)r]0^81=sin(81)4

Resposta

sin(81)4

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