Considere a elipse dada por
x^29+y^24=1
Calcule a equação da reta tangente a esta elipse no ponto em que x=2. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
x^29+y^24=1
e pede a reta tangente no(s) ponto(s) em que x=2. O conteúdo aqui é derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente e depois montar sua equação no(s) ponto(s) correspondente(s).

Passo 2

Para achar o(s) ponto(s) da elipse em que x=2, substituímos em
x^29+y^24=1
tendo
2^29+y^24=1 Longrightarrow 49+y^24=1 Longrightarrow y^24=1-49=59
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y^2=209 Longrightarrow y=pm2raiz53
Os pontos de tangência são
P1=l(2,2raiz53r), P2=l(2,-2raiz53r)

Passo 3

Fazemos derivação implícita de
x^29+y^24=1
em relação a x. Derivando termo a termo:
2x9+2y4,dydx=0 Longrightarrow x9+y2y'=0 Longrightarrow y'=-x/9y/2=-2x9y

Passo 4

No ponto P1 (com y=+tfrac2raiz53):
m1=y'l(2,tfrac2raiz53r) =-2cdot29,(2raiz5/3) =-46raiz5 =-23raiz5 =-2raiz515
A reta tangente em P1 é
y-2raiz53 =-2raiz515l(x-2r)
No ponto P2 (com y=-tfrac2raiz53):
m2=-2cdot29,(-2raiz5/3) =+23raiz5 =2raiz515
A reta tangente em P2 é
y+2raiz53 =2raiz515l(x-2r)

Passo 5

Podemos pôr em forma y=mx+b. Para P1:
y=-2raiz515x +underbracel(2raiz53 +4raiz515r)b1 =-2raiz515x+14raiz515
Para P2:
y=2raiz515x +underbracel(-2raiz53 -4raiz515r)b2 =2raiz515x-14raiz515

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • A elipse é centrada em (0,0) com semi-eixo horizontal a=3 e vertical b=2.
  • Os pontos P1 e P2 estão em x=2, um acima e outro abaixo do eixo x.
  • A reta em P1 tem inclinação ligeiramente negativa l(m1=-2raiz5/15r) e toca a elipse no ponto superior.
  • A reta em P2 tem inclinação positiva l(m2=2raiz5/15r) e toca no ponto inferior.
Imagine a elipse “esticada” horizontalmente, e duas retas quase horizontais tocando-a nos pontos simétricos à direita.

Resposta

A tangente em P1=(2,tfrac2raiz53) é
y=-2raiz515,x+14raiz515,
e em P2=(2,-tfrac2raiz53) é
y=2raiz515,x-14raiz515

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