Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem n . O traço de A, denotado por tr(A), é a soma dos elementos da diagonal principal de A , isto é, tr(A)=a11+a22+ldots+ann. Dadas as matrizes A=(ccc1 & 3 & 6 2 & -5 & 8 4 & -2 & 7) e B=(ccc0 & -2 & 2 -1 & 5 & 4 3 & -1 & 7), verifique que:
tr(3 cdot A)=3 cdot tr(A)

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz quadrada A=(aij) de ordem n como
tr(A)=a11+a22+cdots+ann
e pede para verificar, no caso particular da matriz
A= 1 & 3 & 6 2 & -5 & 8 4 & -2 & 7 ,
que
tr(3A)=3cdottr(A)

Passo 2

Vamos primeiro calcular tr(A). Pelos elementos da diagonal principal de A, temos
tr(A)=1 + (-5) + 7 = 3

Passo 3

Agora formamos a matriz 3A multiplicando cada entrada de A por 3:
3A= 3cdot1 & 3cdot3 & 3cdot6 3cdot2 & 3cdot(-5) & 3cdot8 3cdot4 & 3cdot(-2) & 3cdot7 = 3 & 9 & 18 6 & -15 & 24 12 & -6 & 21

Passo 4

Calculamos tr(3A) somando os elementos da diagonal de 3A:
tr(3A)=3 + (-15) + 21 = 9

Passo 5

Por outro lado,
3cdottr(A) = 3 cdot 3 = 9
Como tr(3A)=9 e 3cdottr(A)=9, concluímos que
tr(3A)=3cdottr(A)

Resposta

tr(3A)=3cdottr(A).

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