Considere a elipse
que tem os focos
e
, e e passa pelo ponto
. Encontre as equações da elipse
e de seus eixos (focal e não focal).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes pontos (peguei estes valores do enunciado / figura):
- Foco esquerdo
. - Foco direito
. - Um ponto da elipse
.
O que se pede:
- Encontrar a equação da elipse
. - Encontrar as equações dos seus eixos: o eixo focal (eixo maior) e o eixo não focal (eixo menor).
Passo 2
Primeiro passo prático: determinar o centro
da elipse.
Regra usada (fórmula do ponto médio): o centro de uma elipse com dois focos é o ponto médio dos focos. Se os focos são e
então
Regra usada (fórmula do ponto médio): o centro de uma elipse com dois focos é o ponto médio dos focos. Se os focos são
Aplicando aos focos dados:
Interpretação: o centro fica em
. Isso é importante porque a equação canônica da elipse será escrita em torno desse centro.
Passo 3
Determinar a orientação (horizontal/vertical) do eixo maior: os focos têm a mesma coordenada
(ou seja, estão alinhados horizontalmente), portanto o eixo focal (eixo maior) é horizontal, isto é, a reta
. Em outras palavras, a elipse é alongada no sentido
.
Passo 4
Calcular a distância do centro a cada foco: essa distância é o parâmetro
. Fórmula da distância entre pontos na reta horizontal: se os focos estão em
, então
é a diferença em
. Aqui:
(Confirmação: também
.)
Passo 5
A constante
(meio-eixo maior) é definida pela propriedade da elipse: a soma das distâncias de um ponto qualquer da elipse aos dois focos é
. Ou seja, para
vale
Vamos calcular
e
usando a fórmula da distância euclidiana entre pontos
e
:
Aplicando para
e
:
Para
e
:
Logo
Dica didática: é comum na prova usar exatamente essa definição para achar
quando se dá um ponto da elipse.
Passo 6
Calcular
(meio-eixo menor). A relação canônica entre
,
e
para elipses com eixo maior horizontal ou vertical é
ou equivalentemente
Essa relação vem da definição geométrica das elipses e da forma canônica. Substituindo os valores que já temos:
logo
Passo 7
Escrever a equação canônica da elipse centrada em
com eixo maior horizontal. A forma geral (aqui
) é
onde
é o centro. Substituindo
,
e
, obtemos
Podemos escrever de forma levemente mais simples, lembrando que dividir por
não altera:
Passo 8
Equações dos eixos e vértices (úteis para entender a geometria na prova):
- Eixo focal (eixo maior): é a reta horizontal que passa pelo centro, portanto
Os vértices principais (extremos do eixo maior) são
, ou seja
- Eixo não focal (eixo menor): é a reta vertical que passa pelo centro, portanto
Os vértices menores (extremos do eixo menor) são
, ou seja
Observação simpática: reparou que o ponto
dado no enunciado coincide exatamente com um dos vértices menores? Isso serve como verificação rápida dos cálculos (e foi usado implicitamente quando calculamos
).
Passo 9
Resumo final (já com todas as equações e pontos importantes apresentados). A equação está escrita de forma pronta para usar em cálculos ou para responder em prova.