Considere a elipse mathcal{E} que tem os focos F=(1,2) e F^{\prime}=(7,2), e e passa pelo ponto P=(4,1). Encontre as equações da elipse mathcal{E} e de seus eixos (focal e não focal).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes pontos (peguei estes valores do enunciado / figura):
  • Foco esquerdo F=(1,2).
  • Foco direito F'=(7,2).
  • Um ponto da elipse P=(4,1).
O que se pede:
  • Encontrar a equação da elipse \mathcal{E}.
  • Encontrar as equações dos seus eixos: o eixo focal (eixo maior) e o eixo não focal (eixo menor).

Passo 2

Primeiro passo prático: determinar o centro C da elipse.
Regra usada (fórmula do ponto médio): o centro de uma elipse com dois focos é o ponto médio dos focos. Se os focos são (x_1,y_1) e (x_2,y_2) então
C=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando aos focos dados:
C=\left(\frac{1+7}{2},\frac{2+2}{2}\right)=\left(4,2\right).
Interpretação: o centro fica em \left(4,2\right). Isso é importante porque a equação canônica da elipse será escrita em torno desse centro.

Passo 3

Determinar a orientação (horizontal/vertical) do eixo maior: os focos têm a mesma coordenada y=2 (ou seja, estão alinhados horizontalmente), portanto o eixo focal (eixo maior) é horizontal, isto é, a reta y=2. Em outras palavras, a elipse é alongada no sentido x.

Passo 4

Calcular a distância do centro a cada foco: essa distância é o parâmetro \,c. Fórmula da distância entre pontos na reta horizontal: se os focos estão em (h\pm c,k), então c é a diferença em x. Aqui:
c=|4-1|=3.
(Confirmação: também c=|7-4|=3.)

Passo 5

A constante a (meio-eixo maior) é definida pela propriedade da elipse: a soma das distâncias de um ponto qualquer da elipse aos dois focos é 2a. Ou seja, para P vale
PF+PF'=2a.
Vamos calcular PF e PF' usando a fórmula da distância euclidiana entre pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aplicando para P=(4,1) e F=(1,2):
PF=\sqrt{(4-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Para P e F'=(7,2):
PF'=\sqrt{(4-7)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Logo
2a=PF+PF'= \sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}.
Dica didática: é comum na prova usar exatamente essa definição para achar a quando se dá um ponto da elipse.

Passo 6

Calcular b (meio-eixo menor). A relação canônica entre a, b e c para elipses com eixo maior horizontal ou vertical é
c^2 = a^2 - b^2,
ou equivalentemente
b^2 = a^2 - c^2.
Essa relação vem da definição geométrica das elipses e da forma canônica. Substituindo os valores que já temos:
a^2=(\sqrt{10})^2=10,\qquad c^2=3^2=9,
logo
b^2=10-9=1\quad\Rightarrow\quad b=1.

Passo 7

Escrever a equação canônica da elipse centrada em C=(4,2) com eixo maior horizontal. A forma geral (aqui a>b) é
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
onde (h,k) é o centro. Substituindo (h,k)=(4,2), a^2=10 e b^2=1, obtemos
\frac{(x-4)^2}{10}+\frac{(y-2)^2}{1}=1.
Podemos escrever de forma levemente mais simples, lembrando que dividir por 1 não altera:
\frac{(x-4)^2}{10}+(y-2)^2=1.

Passo 8

Equações dos eixos e vértices (úteis para entender a geometria na prova):
  • Eixo focal (eixo maior): é a reta horizontal que passa pelo centro, portanto
\text{eixo focal: } y=2.
Os vértices principais (extremos do eixo maior) são (h\pm a,k), ou seja
\left(4\pm\sqrt{10},\,2\right).
  • Eixo não focal (eixo menor): é a reta vertical que passa pelo centro, portanto
\text{eixo não focal: } x=4.ã
Os vértices menores (extremos do eixo menor) são (h,k\pm b), ou seja
(4,\,2\pm 1)=(4,3)\\ \text{e}\\ (4,1).
Observação simpática: reparou que o ponto P=(4,1) dado no enunciado coincide exatamente com um dos vértices menores? Isso serve como verificação rápida dos cálculos (e foi usado implicitamente quando calculamos b).

Passo 9

Resumo final (já com todas as equações e pontos importantes apresentados). A equação está escrita de forma pronta para usar em cálculos ou para responder em prova.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-4)^2}{10}+(y-2)^2=1
\displaystyle \text{Eixo focal (eixo maior): } y=2
\displaystyle \text{Eixo não focal (eixo menor): } x=4ã

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