Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10
Passo 1
O enunciado nos dá os subespaços de
:
e
Pede-se encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
. A pergunta final é: qual é o valor de
? As alternativas vão de 3 até 10.
Informações relevantes fornecidas:
-
é o conjunto de combinações lineares de e . -
é o conjunto de múltiplos de . -
é o conjunto de vetores ortogonais a , ou seja vetores cujo produto interno com é zero. - Quer-se vetor em
e em com primeira componente .
Passo 2
Representar genericamente um vetor de
. Se
, existem escalares
tais que
Vamos escrever as componentes de
em função de
e
. Somando coordenada a coordenada:
Aqui cada expressão representa respectivamente
em termos de
e
.
Passo 3
Usar a condição sobre a primeira componente: pedem um vetor da forma
, ou seja
. Assim, a partir de
obtemos a equação
Esta é a primeira equação que relaciona
e
.
Passo 4
Explicar e usar a condição de ortogonalidade. Um vetor
pertence a
se, e somente se, o produto interno (produto escalar) com o gerador de
for zero. O produto interno em
entre
e
é
No nosso caso, a condição
é
Substituindo as componentes de
obtemos a equação
Passo 5
Resolver a equação de ortogonalidade passo a passo. Primeiro expandir:
Agrupando os termos em
e
:
Portanto a condição vira
ou equivalentemente
Esta é a segunda equação que relaciona
e
.
Passo 6
Resolver o sistema linear formado por
Da segunda equação tem-se
. Substituindo na primeira:
Logo
E como
, segue
Passo 7
Calcular a terceira componente
usando
e
. Lembremos que
. Substituindo
e
:
Passo 8
Verificar rapidamente as demais coordenadas para confirmar consistência:
(condição atendida) e
. O vetor encontrado é
, que está em
e é ortogonal a
. Tudo consistente.
Resposta
6