Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(3,1,2),(8,3,8)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(2,-9,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10

Passo 1

O enunciado nos dá os subespaços de \mathbb{R}^3:
H=\operatorname{span}\{(3,1,2),(8,3,8)\}
e
M=\operatorname{span}\{(2,-9,1)\}.
Pede-se encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(-3,x_{2},x_{3}). A pergunta final é: qual é o valor de x_{3}? As alternativas vão de 3 até 10.
Informações relevantes fornecidas:
  • H é o conjunto de combinações lineares de (3,1,2) e (8,3,8).
  • M é o conjunto de múltiplos de (2,-9,1).
  • M^{\perp} é o conjunto de vetores ortogonais a (2,-9,1), ou seja vetores cujo produto interno com (2,-9,1) é zero.
  • Quer-se vetor em H e em M^{\perp} com primeira componente -3.

Passo 2

Representar genericamente um vetor de H. Se \vec{x}\in H, existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(3,1,2)+b(8,3,8).
Vamos escrever as componentes de \vec{x} em função de a e b. Somando coordenada a coordenada:
\vec{x}=(3a+8b,\; a+3b,\; 2a+8b).
Aqui cada expressão representa respectivamente \;x_1,\;x_2,\;x_3\; em termos de a e b.

Passo 3

Usar a condição sobre a primeira componente: pedem um vetor da forma \vec{x}=(-3,x_2,x_3), ou seja \;x_1=-3. Assim, a partir de \;x_1=3a+8b obtemos a equação
3a+8b=-3.
Esta é a primeira equação que relaciona a e b.

Passo 4

Explicar e usar a condição de ortogonalidade. Um vetor \vec{x} pertence a M^{\perp} se, e somente se, o produto interno (produto escalar) com o gerador de M for zero. O produto interno em \mathbb{R}^3 entre (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) é
(u_1,u_2,u_3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
No nosso caso, a condição \vec{x}\in M^{\perp} é
\vec{x}\cdot(2,-9,1)=0.
Substituindo as componentes de \vec{x}=(3a+8b,\; a+3b,\; 2a+8b) obtemos a equação
2(3a+8b)-9(a+3b)+(2a+8b)=0.

Passo 5

Resolver a equação de ortogonalidade passo a passo. Primeiro expandir:
2(3a+8b)-9(a+3b)+(2a+8b)=6a+16b-9a-27b+2a+8b.
Agrupando os termos em a e b:
(6a-9a+2a)+(16b-27b+8b)=(-1)a+(-3)b=-a-3b.
Portanto a condição vira
-a-3b=0,
ou equivalentemente
a+3b=0.
Esta é a segunda equação que relaciona a e b.

Passo 6

Resolver o sistema linear formado por
\begin{cases} 3a+8b=-3,\\[4pt] a+3b=0. \end{cases}
Da segunda equação tem-se a=-3b. Substituindo na primeira:
3(-3b)+8b=-3 \quad\Rightarrow\quad -9b+8b=-3 \quad\Rightarrow\quad -b=-3.
Logo
b=3.
E como a=-3b, segue
a=-9.]

Passo 7

Calcular a terceira componente \;x_3 usando a e b. Lembremos que \;x_3=2a+8b. Substituindo a=-9 e b=3:
x_3=2(-9)+8(3)=-18+24=6.

Passo 8

Verificar rapidamente as demais coordenadas para confirmar consistência: \;x_1=3a+8b=3(-9)+8(3)=-27+24=-3 (condição atendida) e \;x_2=a+3b=-9+9=0. O vetor encontrado é \;(-3,0,6), que está em H e é ortogonal a (2,-9,1). Tudo consistente.

Resposta

6

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