Considere as retas no espaço \mathbb{R}^{3} parametrizadas por
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\\ y=1+t \\\ z=3 \end{array}, \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1-2 s \\\ y=1+s \\\ z=-1 \end{array}, \quad s \in \mathbb{R} .\right.\right.
E seja \vec{w} o produto vetorial entre os vetores direção de r_{1} e r_{2}.
Julgue cada umas das afirmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA.
Os vetores direção das retas são paralelos.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 parametrizadas:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\\ y=1+t \\\ z=3 \end{array}, \quad t \in \mathbb{R} \right. \qquad\text{e}\qquad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1-2 s \\\ y=1+s \\\ z=-1 \end{array}, \quad s \in \mathbb{R} \right.
Também é dito que \vec{w} é o produto vetorial entre os vetores direção de r_{1} e r_{2}.
A afirmação a julgar é: “Os vetores direção das retas são paralelos.”
Vou trabalhar com os vetores direção extraídos das parametrizações e verificar se eles são múltiplos escalares (critério de paralelismo) e, em seguida, confirmar com o produto vetorial.
Passo 2
Extraio os vetores direção das retas lendo os coeficientes dos parâmetros nas equações:
De r_{1} os coeficientes de t são 2 em x, 1 em y e 0 em z. Logo o vetor direção é \vec{v}_{1}=(2,1,0).
De r_{2} os coeficientes de s são -2 em x, 1 em y e 0 em z. Logo o vetor direção é \vec{v}_{2}=(-2,1,0).
Essas igualdades foram obtidas diretamente das parametrizações fornecidas.
Passo 3
Critério de paralelismo (explicação didática):
Dois vetores \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) são paralelos se, e somente se, existe um escalar k\in\mathbb{R} tal que \vec{b}=k\vec{a}. Isso significa que todas as componentes satisfazem b_{i}=k a_{i} ao mesmo tempo.
Alternativamente, vetores são paralelos se o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}. Se o produto vetorial for diferente de \vec{0}, então eles não são paralelos.
Vou aplicar o primeiro critério (proporcionalidade) e depois confirmar com o produto vetorial.
Passo 4
Teste de proporcionalidade componente a componente:
Suponha que exista k tal que \vec{v}_{2}=k\vec{v}_{1}. Então das componentes temos:
-2 = 2k \quad\Rightarrow\quad k=-1.
Verificando a segunda componente com esse k:
1 \stackrel{?}{=} 1\cdot k = 1\cdot(-1) = -1,
o que não é verdade. Portanto não existe um único k que torne todas as componentes proporcionais, logo \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} não são paralelos.
Passo 5
Confirmação pelo produto vetorial (passo a passo):
Calculo \vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2} usando a regra do determinante:
Esse vetor é diferente do vetor nulo, \vec{0}. Pelo critério do produto vetorial, isso confirma que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} não são paralelos.
Passo 6
Conclusão final: os vetores direção \vec{v}_{1}=(2,1,0) e \vec{v}_{2}=(-2,1,0) não são múltiplos escalares um do outro e têm produto vetorial não-nulo. Portanto a afirmação “Os vetores direção das retas são paralelos” é falsa.