Considere a elipse E de semieixo horizontal A e semieixo vertical
, com centro em
. Considere nessa elipse uma corda tal que seu ponto médio é
. Determine o coeficiente angular da reta suporte dessa corda se o coeficiente angular da reta OM é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre elipses, que é um tipo de seção cônica. A gente vai precisar entender um pouquinho sobre as propriedades das elipses e como calcular o coeficiente angular de uma reta que está relacionada a ela. O problema fala sobre uma elipse com semieixos horizontal e vertical, e queremos descobrir o coeficiente angular da reta que contém uma corda dessa elipse, sabendo o coeficiente angular da reta que liga o centro da elipse ao ponto médio dessa corda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral da elipse centrada em $ O(a, b) $ com semieixo horizontal $ A $ e semieixo vertical $ B $:
Essa equação descreve todos os pontos $ (x, y) $ que estão na elipse.
Passo 3
Agora, vamos pensar na corda da elipse cuja ponto médio é $ M(p, q) $. Existe uma propriedade que diz que a reta que contém essa corda (a “reta suporte”) está relacionada com a reta que liga o centro da elipse ao ponto médio dessa corda. Queremos encontrar o coeficiente angular dessa reta suporte.
Passo 4
Sabemos que o coeficiente angular da reta que liga o centro $ O(a, b) $ ao ponto médio $ M(p, q) $ é $ n $. O coeficiente angular entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dado por:
Aplicando isso, temos:
Passo 5
A propriedade das elipses nos diz que o coeficiente angular da reta suporte da corda é igual ao coeficiente angular da reta normal à elipse no ponto médio da corda. Mas, para simplificar, podemos usar a relação que liga a inclinação da reta suporte $ m $ com a inclinação da reta $ OM $ que é $ n $.
A relação é dada por:
Essa fórmula surge da simetria da elipse e da geometria envolvida nas cordas.
Passo 6
Portanto, substituindo os valores que conhecemos, o coeficiente angular da reta suporte $ m $ é:
Resposta
O coeficiente angular da reta suporte da corda é $ m = \dfrac{B2}{A2 \cdot n} $.