Uma chapa plana de metal D=(x, y): 9 <= x^2+y^2 <= 25, está situada no plano- x y de modo que a temperatura T(em^circ C) no ponto (x, y) in D é dada por T(x, y)=x^2+y^2.
(a) Faça um esboço do domínio de T e determine a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa de metal que está no plano xy, e a temperatura em cada ponto dessa chapa é dada pela fórmula $ T(x, y) = x^2 + y^2 $. O domínio dessa função $ D $ é definido por $ 9 \leq x^2 + y^2 \leq 25 $. Nosso objetivo aqui é fazer um esboço desse domínio e descobrir qual é o conjunto de todas as temperaturas possíveis, ou seja, a imagem de $ T $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ 9 \leq x^2 + y^2 \leq 25 $. Essa desigualdade envolve $ x^2 + y^2 $, que representa a distância ao quadrado de um ponto $ (x, y) $ até a origem no plano xy.

Passo 3

A equação $ x^2 + y^2 = r^2 $ descreve um círculo com raio $ r $ centrado na origem. Então, $ x^2 + y^2 = 9 $ é um círculo de raio 3, e $ x^2 + y^2 = 25 $ é um círculo de raio 5.

Passo 4

A desigualdade $ 9 \leq x^2 + y^2 \leq 25 $ significa que estamos considerando todos os pontos que estão entre esses dois círculos. Isso forma uma região em forma de anel chamada “anel” ou “anel circular”.

Passo 5

Agora, para fazer um esboço do domínio $ D $, desenhamos dois círculos concêntricos (com o mesmo centro) no plano xy: um com raio 3 e outro com raio 5. A região entre esses dois círculos é o nosso domínio $ D $.

Passo 6

Para encontrar a imagem de $ T $, que é o conjunto de todas as temperaturas possíveis, observamos que $ T(x, y) = x^2 + y^2 $. Como $ x^2 + y^2 $ varia entre 9 e 25 no domínio $ D $, isso significa que a temperatura também varia de 9°C a 25°C.

Resposta

A imagem de $ T $ é o intervalo $ [9, 25] $, ou seja, as temperaturas variam de 9°C a 25°C.

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