Seja
g(u, v)=f(x(u, v), y(u, v))
onde x(u, v), y(u, v) e f(x, y) são funções diferenciáveis. Sabendo que
g(u, v)=4 u^4+6 u^3 v-6 u^2 v^2-14 u v^3-6 v^4
que (x, y)=(1,-3) para (u, v)=(0,1) e que
partial xpartial u(0,1)=1, partial xpartial v(0,1)=2, partial ypartial u(0,1)=3 e partial ypartial v(0,1)=4,
calcule partial fpartial x(1,-3) e partial fpartial y(1,-3).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma composição de funções g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), com g dada explicitamente e conhecendo (x,y)=(1,−3) em (u,v)=(0,1) e as derivadas parciais de x e y nesse ponto. Nosso objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar ∂f/∂x e ∂f/∂y em (1,−3).

Passo 2

Derivamos g(u,v)=4u4+6u3v−6u2v2−14uv3−6v4 em relação a u e a v usando regras de potência e produto. Obtém-se:
partial gpartial u=16u^3+18u^2v−12uv^2−14v^3,
partial gpartial v=6u^3−12u^2v−42uv^2−24v^3

Passo 3

Avaliaremos essas derivadas em (u,v)=(0,1):
Para u=0, v=1 obtemos
partial gpartial u(0,1)=16·0+18·0−12·0−14·1=−14,
partial gpartial v(0,1)=6·0−12·0−42·0−24·1=−24

Passo 4

Aplique a regra da cadeia em (0,1):
partial gpartial u=partial fpartial xpartial xpartial u+partial fpartial ypartial ypartial u,
partial gpartial v=partial fpartial xpartial xpartial v+partial fpartial ypartial ypartial v
Substituindo os valores em (0,1): x_u=1, y_u=3, x_v=2, y_v=4 e os valores de g_u,g_v calculados, resulta no sistema
fx+3fy=-14,2fx+4fy=-24

Passo 5

Resolvendo o sistema linear: multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da segunda temos 2f_y=−4 ⇒ f_y=−2. Substituindo f_y em f_x+3f_y=−14 dá f_x−6=−14 ⇒ f_x=−8. Assim encontramos as derivadas parciais de f em (1,−3).

Resposta

partial fpartial x(1,-3)=-8, partial fpartial y(1,-3)=-2

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