Seja
onde
e
são funções diferenciáveis. Sabendo que
que
para
e que
calcule
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma composição de funções g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), com g dada explicitamente e conhecendo (x,y)=(1,−3) em (u,v)=(0,1) e as derivadas parciais de x e y nesse ponto. Nosso objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar ∂f/∂x e ∂f/∂y em (1,−3).
Passo 2
Derivamos g(u,v)=4u4+6u3v−6u2v2−14uv3−6v4 em relação a u e a v usando regras de potência e produto. Obtém-se:
Passo 3
Avaliaremos essas derivadas em (u,v)=(0,1):
Para u=0, v=1 obtemos
Para u=0, v=1 obtemos
Passo 4
Aplique a regra da cadeia em (0,1):
Substituindo os valores em (0,1): x_u=1, y_u=3, x_v=2, y_v=4 e os valores de g_u,g_v calculados, resulta no sistema
Passo 5
Resolvendo o sistema linear: multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da segunda temos 2f_y=−4 ⇒ f_y=−2. Substituindo f_y em f_x+3f_y=−14 dá f_x−6=−14 ⇒ f_x=−8. Assim encontramos as derivadas parciais de f em (1,−3).