(AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro ( X ) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes Porcentagem Acumulada
70|-90 5
90|-110 15
110|-130 40
130|- 150 70
150|- 170 85
170|- 190 95
190|- 210 100
Qual a estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (peguei todos os números da tabela):
  • Pedido: estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145.
  • Amostra: 200 itens (informação fornecida).
  • Tabela de classes com porcentagem acumulada (frequência relativa acumulada):
    • 70|-90:\;5\%
    • 90|-110:\;15\%
    • 110|-130:\;40\%
    • 130|-150:\;70\%
    • 150|-170:\;85\%
    • 170|-190:\;95\%
    • 190|-210:\;100\%
  • Observação importante dada: não existem observações exatamente nos extremos das classes (logo podemos interpolar dentro das classes sem ambiguidade).

Passo 2

Entender o que é frequência relativa acumulada e localizar 145 na tabela:
  • A porcentagem acumulada associada ao limite superior de uma classe é a proporção de observações menores ou iguais àquele limite.
  • O valor 145 pertence à classe 130|-150 (pois 130<145<150).
  • Portanto, para interpolar precisamos dos valores da porcentagem acumulada imediatamente abaixo e imediatamente acima da classe:
    • Limite inferior da classe: L=130 com porcentagem acumulada F_L=40\% (essa é a acumulada até 130).
    • Limite superior da classe: U=150 com porcentagem acumulada F_U=70\% (essa é a acumulada até 150).

Passo 3

Método para estimar a acumulada em x=145: interpolação linear dentro da classe
  • Motivo: quando só se conhece frequências por classes, a prática padrão é assumir distribuição uniforme dos dados dentro da classe para estimativas pontuais (interpolação linear). Isso é uma aproximação comum em estatística descritiva.
  • Fórmula de interpolação (explicando cada símbolo):
    • F(x) = porcentagem acumulada estimada em x.
    • L = limite inferior da classe que contém x.
    • U = limite superior da classe.
    • F_L = porcentagem acumulada em L.
    • F_U = porcentagem acumulada em U.
  • Fórmula:
F(x)=F_L+\frac{x-L}{U-L}\,(F_U-F_L).
Essa fórmula significa: pega a parte já acumulada até o começo da classe ( F_L) e adiciona a fração do aumento de acumulada dentro da classe proporcional à posição de x dentro da classe.

Passo 4

Aplicar a fórmula para x=145:
  • Calcular a fração da posição de 145 dentro da classe:
\frac{145-130}{150-130}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=0,75.
  • Diferença entre acumuladas nos limites:
F_U-F_L=70\%-40\%=30\%.
  • Incremento até 145:
0,75\times 30\%=22,5\%.
  • Soma com a acumulada até L:
F(145)=40\%+22,5\%=62,5\%.

Passo 5

Interpretação final e conversões úteis:
  • A estimativa da frequência relativa de observações com X\le145 é 62,5\%.
  • Em proporção decimal isso é 0,625.
  • Se quiser a estimativa de número de observações em uma amostra de 200, seria 0,625\times200=125 observações (apenas informação adicional).

Resposta

62{,}5\% (ou 0{,}625)

Exercícios relacionados