(AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro ( X ) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna
representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes
Porcentagem Acumulada
70|-90
5
90|-110
15
110|-130
40
130|- 150
70
150|- 170
85
170|- 190
95
190|- 210
100
Qual a estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145?
| Classes | Porcentagem Acumulada |
| 70|-90 | 5 |
| 90|-110 | 15 |
| 110|-130 | 40 |
| 130|- 150 | 70 |
| 150|- 170 | 85 |
| 170|- 190 | 95 |
| 190|- 210 | 100 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (peguei todos os números da tabela):
- Pedido: estimativa da frequência relativa de observações de
menores ou iguais a . - Amostra:
itens (informação fornecida). - Tabela de classes com porcentagem acumulada (frequência relativa acumulada):
-
- Observação importante dada: não existem observações exatamente nos extremos das classes (logo podemos interpolar dentro das classes sem ambiguidade).
Passo 2
Entender o que é frequência relativa acumulada e localizar
na tabela:
- A porcentagem acumulada associada ao limite superior de uma classe é a proporção de observações menores ou iguais àquele limite.
- O valor
pertence à classe (pois ). - Portanto, para interpolar precisamos dos valores da porcentagem acumulada imediatamente abaixo e imediatamente acima da classe:
- Limite inferior da classe:
com porcentagem acumulada (essa é a acumulada até ). - Limite superior da classe:
com porcentagem acumulada (essa é a acumulada até ).
- Limite inferior da classe:
Passo 3
Método para estimar a acumulada em
: interpolação linear dentro da classe
- Motivo: quando só se conhece frequências por classes, a prática padrão é assumir distribuição uniforme dos dados dentro da classe para estimativas pontuais (interpolação linear). Isso é uma aproximação comum em estatística descritiva.
- Fórmula de interpolação (explicando cada símbolo):
-
= porcentagem acumulada estimada em . -
= limite inferior da classe que contém . -
= limite superior da classe. -
= porcentagem acumulada em . -
= porcentagem acumulada em .
-
- Fórmula:
Essa fórmula significa: pega a parte já acumulada até o começo da classe (
) e adiciona a fração do aumento de acumulada dentro da classe proporcional à posição de
dentro da classe.
Passo 4
Aplicar a fórmula para
:
- Calcular a fração da posição de
dentro da classe:
- Diferença entre acumuladas nos limites:
- Incremento até
:
- Soma com a acumulada até
:
Passo 5
Interpretação final e conversões úteis:
- A estimativa da frequência relativa de observações com
é . - Em proporção decimal isso é
. - Se quiser a estimativa de número de observações em uma amostra de
, seria observações (apenas informação adicional).