Determine o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=z \hat{i}-y \hat{j}-x \hat{k} através da esfera unitária x^{2}+y com normal exterior:
(a) Pela definição.
(b) Usando o teorema de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=z\hat{i}-y\hat{j}-x\hat{k} através da esfera unitária com normal exterior, em duas maneiras:
(a) Usando a definição do fluxo (integral de superfície) — isto é, calcular \iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS onde S é a superfície da esfera unitária.
(b) Usando o teorema de Gauss (teorema da divergência) — isto é, calcular \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV onde V é a bola unitária limitada por S.
Informações dadas e úteis:
  • A superfície S é a esfera unitária centrada na origem, definida por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\;.
  • “Normal exterior” significa que a unidade normal \hat{n} aponta para fora da bola.
  • Área da esfera unitária (fato padrão): 4\pi.
  • Volume da bola unitária (fato padrão): \tfrac{4}{3}\pi.

Passo 2

Recordando a definição do fluxo por superfície: o fluxo de \vec{F} através de S é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS.
Na esfera unitária, o vetor posição (x,y,z) já é a normal exterior não unitária; como a esfera tem raio 1, a unidade normal exterior é simplesmente
\hat{n}=(x,y,z),
porque \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1 sobre S. Isso é importante e simplifica muito a conta.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot\hat{n} sobre a superfície:
\vec{F}\cdot\hat{n}=(z,-y,-x)\cdot(x,y,z).
Fazendo a multiplicação componente a componente:
\vec{F}\cdot\hat{n}=z\cdot x + (-y)\cdot y + (-x)\cdot z = xz - y^{2} - xz = -y^{2}.
Portanto o integrando fica muito simples: \vec{F}\cdot\hat{n}=-y^{2} sobre toda a esfera.

Passo 4

Agora precisamos avaliar
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = \iint_{S}(-y^{2})\,dS = -\iint_{S}y^{2}\,dS.
Para calcular \iint_{S}y^{2}\,dS usamos simetria ou coordenadas esféricas. Explico os dois jeitos; o de simetria é mais rápido.
Método por simetria:
  • Por simetria da esfera, \iint_{S}x^{2}\,dS=\iint_{S}y^{2}\,dS=\iint_{S}z^{2}\,dS.
  • Soma dessas três integrais é \iint_{S}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dS. Mas sobre S temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, então
\iint_{S}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dS=\iint_{S}1\,dS=\text{Área}(S)=4\pi.Á
  • Logo
3\iint_{S}y^{2}\,dS = 4\pi \quad\Rightarrow\quad \iint_{S}y^{2}\,dS=\frac{4\pi}{3}.
(Se quiser ver a conta explícita em coordenadas esféricas: usar y=\sin\varphi\sin\theta e dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta, integrar \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi e \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\tfrac{4}{3}, obtendo \pi\cdot\tfrac{4}{3}=\tfrac{4\pi}{3}.)

Passo 5

Substituindo o valor encontrado:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = -\iint_{S}y^{2}\,dS = -\frac{4\pi}{3}.
Assim, pela definição (parte (a)) o fluxo é -\dfrac{4\pi}{3}.

Passo 6

Agora a parte (b): usar o teorema da divergência de Gauss. O teorema diz que, para um campo contínuo adequado \vec{F} e região volumétrica V limitada por S com normal exterior,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = \iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Então calculamos a divergência de \vec{F}.

Passo 7

Calcular \nabla\cdot\vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(z) + \frac{\partial}{\partial y}(-y) + \frac{\partial}{\partial z}(-x) = 0 - 1 + 0 = -1.
A divergência é constante e igual a -1 em todo o espaço.

Passo 8

Aplicando o teorema de Gauss:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV = \iiint_{V}(-1)\,dV = -\text{Vol}(V).
A volume da bola unitária é \text{Vol}(V)=\dfrac{4}{3}\pi, logo
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = -\frac{4\pi}{3}.
Portanto o resultado pela divergência coincide com o da definição.

Resposta

(a) -\dfrac{4\pi}{3}
(b) -\dfrac{4\pi}{3}

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