Determine o fluxo do campo vetorial
através da esfera unitária
com normal exterior:
(a) Pela definição.
(b) Usando o teorema de Gauss.
(a) Pela definição.
(b) Usando o teorema de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da esfera unitária com normal exterior, em duas maneiras:
(a) Usando a definição do fluxo (integral de superfície) — isto é, calcular onde
é a superfície da esfera unitária.
(b) Usando o teorema de Gauss (teorema da divergência) — isto é, calcular onde
é a bola unitária limitada por
.
(a) Usando a definição do fluxo (integral de superfície) — isto é, calcular
(b) Usando o teorema de Gauss (teorema da divergência) — isto é, calcular
Informações dadas e úteis:
- A superfície
é a esfera unitária centrada na origem, definida por . - “Normal exterior” significa que a unidade normal
aponta para fora da bola. - Área da esfera unitária (fato padrão):
. - Volume da bola unitária (fato padrão):
.
Passo 2
Recordando a definição do fluxo por superfície: o fluxo de
através de
é
Na esfera unitária, o vetor posição
já é a normal exterior não unitária; como a esfera tem raio
, a unidade normal exterior é simplesmente
porque
sobre
. Isso é importante e simplifica muito a conta.
Passo 3
Calcular o produto escalar
sobre a superfície:
Fazendo a multiplicação componente a componente:
Portanto o integrando fica muito simples:
sobre toda a esfera.
Passo 4
Agora precisamos avaliar
Para calcular
usamos simetria ou coordenadas esféricas. Explico os dois jeitos; o de simetria é mais rápido.
Método por simetria:
- Por simetria da esfera,
. - Soma dessas três integrais é
. Mas sobre temos , então
- Logo
(Se quiser ver a conta explícita em coordenadas esféricas: usar
e
, integrar
e
, obtendo
.)
Passo 5
Substituindo o valor encontrado:
Assim, pela definição (parte (a)) o fluxo é
.
Passo 6
Agora a parte (b): usar o teorema da divergência de Gauss. O teorema diz que, para um campo contínuo adequado
e região volumétrica
limitada por
com normal exterior,
Então calculamos a divergência de
.
Passo 7
Calcular
:
A divergência é constante e igual a
em todo o espaço.
Passo 8
Aplicando o teorema de Gauss:
A volume da bola unitária é
, logo
Portanto o resultado pela divergência coincide com o da definição.
Resposta
(a)
(b)
(b)