Considere uma empresa de engenharia que realiza ensaios em materiais fornecidos por três fábricas diferentes. A empresa recebe 20 % dos materiais da Fábrica A, 30% da Fábrica B e 50 % da Fábrica C. Durante uma auditoria surpresa, constatou-se que 20 % dos materiais da Fábrica A apresentavam defeitos, 5 % dos materiais da Fábrica B estavam defeituosos, e 2 % dos materiais da Fábrica C também apresentavam defeitos. Como os materiais são armazenados sem identificação de origem, deseja-se agora calcular:
Qual é a probabilidade de que uma amostra com defeito tenha sido obtida da empresa A? (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que uma empresa recebe materiais de três fábricas (A, B e C) com proporções de 20 %, 30 % e 50 %, respectivamente. Dessas fábricas, os percentuais de material com defeito são 20 % para a A, 5 % para a B e 2 % para a C. A pergunta é: “Se eu peguei uma peça defeituosa, qual a chance de ela ter vindo da fábrica A?”
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que precisamos:
  • Entender como funciona a probabilidade total (para achar a probabilidade de tirar uma peça defeituosa de qualquer fábrica).
  • Aplicar o Teorema de Bayes para inverter a condição “defeituosa” para “provém da A”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema da Probabilidade Total. Ele diz que, se você tem eventos exaustivos e mutuamente exclusivos (A, B e C, no nosso caso), a probabilidade de um evento D (ser defeituoso) é:
P(D) ;=; P(D|A),P(A);+;P(D|B),P(B);+;P(D|C),P(C)
Aqui:
  • , , .
  • , , .

Passo 3

Calculando P(D) = 0,20cdot0,20 ;+;0,30cdot0,05;+;0,50cdot0,02 :
P(D) = 0,04 ;+;0,015;+;0,01 = 0,065

Passo 4

Agora, o Teorema de Bayes para achar P(A|D) ;=; P(D|A),P(A)P(D) ;=;0,20cdot0,200,065 :

Resposta

P(A|D) ;=;0,040,065;approx;0,6154 Longrightarrow61,54%,

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