3.5 Considere um tanque esférico de diâmetro 3 m contendo gás liquefeito de petróleo a temperatura T_{i}=-60^{\circ} \mathrm{C}, revestido por uma camada de isolamento de espessura t=250 \mathrm{~mm} e condutividade térmica k=0,06 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. O tanque está exposto ao ar ambiente a T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo h=6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Admitindo regime permanente, condução unidimensional radial, propriedades constantes e desprezando efeitos radiativos, determine: (a) a posição radial no isolamento em que a temperatura é 0^{\circ} \mathrm{C}; (b) discuta qualitativamente a formação de gelo no isolamento caso este seja permeável à umidade e seu efeito sobre a transferência de calor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes valores do enunciado e da figura enviada:
Raio interno do tanque (superfície interna do isolamento): r_{i}=1,5\\ \mathrm{m}.
Espessura do isolamento: t_{\text{ins}}=250\\ \mathrm{mm}=0,25\\ \mathrm{m}.
Logo o raio externo do isolamento é r_{o}=r_{i}+t_{\text{ins}}=1,75\\ \mathrm{m}.
Temperatura na superfície do tanque (superfície interna do isolamento): T_{i}=-60^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
Condutividade térmica do isolamento: k=0,06\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
Coeficiente convectivo na face externa do isolamento: h=6\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}).
O enunciado pede:
(a) determinar a posição radial no isolamento onde a temperatura é 0^{\circ}\mathrm{C} (isto é, encontrar r tal que T(r)=0^{\circ}\mathrm{C}, com r_{i}\le r\le r_{o});
(b) discutir qualitativamente a formação de gelo no isolamento permeável à umidade e seu efeito sobre a transferência de calor.
Passo 2
Modelo físico e equação geral (por que usar esta abordagem).
Em regime permanente, com simetria esférica e sem geração de calor, a equação de condução unidimensional radial em coordenadas esféricas reduz-se a
Integrando duas vezes obtemos a forma geral da solução (só depende de r):
T(r)=C_{1}+\frac{C_{2}}{r},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.
As condições de contorno são:
temperatura conhecida na superfície interna: T(r_{i})=T_{i};
condição convectiva na superfície externa: -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_{o}}=h\bigl(T(r_{o})-T_{\infty}\bigr).
Alternativa mais prática (equivalente): usar resistências térmicas em série para uma casca esférica e convecção externa. Isso dá a mesma resposta de forma mais direta e é o método que vamos aplicar para cálculos numéricos.
Passo 3
Resistências térmicas e fluxo de calor total.
Resistência de condução em casca esférica entre r_{1} e r_{2}:
Explicação curta: esse \dot{Q} é a potência que o ambiente fornece ao tanque através do isolamento. Como R_{\text{cond}}\gg R_{\text{conv}} (0,1263 vs 0,00433), a resistência de condução na casca domina o comportamento térmico.
Passo 5
Expressão para T(r) dentro do isolamento e uso para achar a isoterma 0^{\circ}\mathrm{C}.
A queda de temperatura entre r_{i} e um raio r (com r_{i}\le r\le r_{o}) devido à condução é dada por \dot{Q} vezes a resistência de condução entre r_{i} e r:
Mas eu já calculei numericamente \dot{Q} e \dfrac{1}{4\pi k}, então uso os números obtidos no Passo 4 para resolver diretamente a expressão mais simples:
Distância a partir da superfície interna do isolamento: r-r_{i}\approx 1,687-1,5=0,18696\\ \mathrm{m}\approx 186,9\\ \mathrm{mm}.
Distância até a face externa: r_{o}-r\approx 1,75-1,687=0,063\\ \mathrm{m}\approx 63,1\\ \mathrm{mm}.
Logo a isoterma de 0^{\circ}\mathrm{C} está dentro do isolamento, a cerca de 187\\ \mathrm{mm} do interior e 63\\ \mathrm{mm} do exterior.
Passo 7
Discussão didática e física sobre a formação de gelo (parte b) — explicação detalhada e qualitativa.
Onde a temperatura for igual ou inferior a 0^{\circ}\mathrm{C} dentro do isolamento existe potencial para condensação da umidade do ar que migra para o interior do material. Se o isolamento é permeável à umidade, o vapor d’água pode difundir e condensar nas regiões frias; quando a temperatura local cai a 0^{\circ}\mathrm{C} ou abaixo, a água condensada pode congelar, formando gelo ou gelo-seco (camada de gelo/frost).
Efeitos principais sobre a transferência de calor:
Aumento da condutividade térmica efetiva: materiais secos e com poros de ar têm baixa condutividade. A água e, sobretudo, o gelo têm condutividade muito maior que o ar. Assim, a presença de água/ gelo nos poros reduz a resistência térmica do isolamento e aumenta o fluxo de calor (piora o isolamento).
Mudança de propriedades ao longo do tempo: enquanto a umidade migra e congela, a propriedade térmica muda localmente e pode levar a aumento progressivo da perda de calor — um efeito degradante.
Danos mecânicos: ciclos de congelamento e degelo podem causar expansão e fissuração do material isolante, reduzindo ainda mais sua eficácia e sua vida útil.
Formação de camadas impermeáveis: em alguns casos uma camada de gelo próxima à face externa pode agir como barreira temporária à penetração adicional de vapor; isso pode reduzir a taxa de ingresso de nova umidade, mas quase sempre o efeito global é negativo porque a camada congelada tem condutividade muito maior que o ar e, portanto, aumenta o fluxo de calor.
Problemas de operação e segurança: acúmulo de gelo pode levar a escorrimentos, gotejamento quando descongela, e problemas estruturais ou de manutenção.
Conclusão qualitativa: se o isolamento for permeável, a região fria em que T\le 0^{\circ}\mathrm{C} tende a atrair condensação e formação de gelo; isso diminui a resistência térmica efetiva do conjunto e, portanto, aumenta o fluxo de calor para o tanque, além de poder danificar o isolamento ao longo do tempo. Em projeto prático, evita-se deixar isoterma de 0^{\circ}\mathrm{C} dentro de isolamento permeável, ou então usa-se barreira de vapor e/ou isolamento com baixa permeabilidade.
Resposta
(a) r\approx 1,687\\ \mathrm{m} (ou seja, r-r_{i}\approx 186,9\\ \mathrm{mm} a partir da superfície interna; r_{o}-r\approx 63,1\\ \mathrm{mm} da face externa).
(b) Formação de gelo: a umidade penetrante condensará e congelará na região onde T\le 0^{\circ}\mathrm{C}; o gelo aumenta a condutividade efetiva do isolamento e reduz sua resistência térmica (logo aumenta o fluxo de calor), além de poder provocar danos mecânicos por ciclos de congelamento/degelo.