3.5 Considere um tanque esférico de diâmetro 3 m contendo gás liquefeito de petróleo a temperatura T_{i}=-60^{\circ} \mathrm{C}, revestido por uma camada de isolamento de espessura t=250 \mathrm{~mm} e condutividade térmica k=0,06 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. O tanque está exposto ao ar ambiente a T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo h=6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Admitindo regime permanente, condução unidimensional radial, propriedades constantes e desprezando efeitos radiativos, determine: (a) a posição radial no isolamento em que a temperatura é 0^{\circ} \mathrm{C}; (b) discuta qualitativamente a formação de gelo no isolamento caso este seja permeável à umidade e seu efeito sobre a transferência de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes valores do enunciado e da figura enviada:
  • Raio interno do tanque (superfície interna do isolamento): r_{i}=1,5\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do isolamento: t_{\text{ins}}=250\\ \mathrm{mm}=0,25\\ \mathrm{m}.
  • Logo o raio externo do isolamento é r_{o}=r_{i}+t_{\text{ins}}=1,75\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura na superfície do tanque (superfície interna do isolamento): T_{i}=-60^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do isolamento: k=0,06\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Coeficiente convectivo na face externa do isolamento: h=6\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}).
O enunciado pede:
(a) determinar a posição radial no isolamento onde a temperatura é 0^{\circ}\mathrm{C} (isto é, encontrar r tal que T(r)=0^{\circ}\mathrm{C}, com r_{i}\le r\le r_{o});
(b) discutir qualitativamente a formação de gelo no isolamento permeável à umidade e seu efeito sobre a transferência de calor.

Passo 2

Modelo físico e equação geral (por que usar esta abordagem).
  • Em regime permanente, com simetria esférica e sem geração de calor, a equação de condução unidimensional radial em coordenadas esféricas reduz-se a
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0.
  • Integrando duas vezes obtemos a forma geral da solução (só depende de r):
T(r)=C_{1}+\frac{C_{2}}{r},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.
  • As condições de contorno são:
    • temperatura conhecida na superfície interna: T(r_{i})=T_{i};
    • condição convectiva na superfície externa: -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_{o}}=h\bigl(T(r_{o})-T_{\infty}\bigr).
  • Alternativa mais prática (equivalente): usar resistências térmicas em série para uma casca esférica e convecção externa. Isso dá a mesma resposta de forma mais direta e é o método que vamos aplicar para cálculos numéricos.

Passo 3

Resistências térmicas e fluxo de calor total.
  • Resistência de condução em casca esférica entre r_{1} e r_{2}:
R_{\text{cond}}(r_{1}\to r_{2})=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
  • Resistência convectiva na superfície externa r_{o}:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{4\pi r_{o}^{2} h}.
  • Resistência total entre T_{i} (em r_{i}) e T_{\infty} é
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}(r_{i}\to r_{o})+R_{\text{conv}}.
  • O fluxo de calor (magnitude) que entra no tanque é
\dot{Q}=\frac{T_{\infty}-T_{i}}{R_{\text{tot}}}.

Passo 4

Cálculo numérico das resistências e do fluxo (faço passo a passo e explico cada número).
  • Primeiro calcule R_{\text{cond}}(r_{i}\to r_{o}):
    • \dfrac{1}{r_{i}}=\dfrac{1}{1,5}=0,666666\ldots\\ \mathrm{m}^{-1}.
    • \dfrac{1}{r_{o}}=\dfrac{1}{1,75}=0,571428\ldots\\ \mathrm{m}^{-1}.
    • Diferença: \dfrac{1}{r_{i}}-\dfrac{1}{r_{o}}=0,095238\\ \mathrm{m}^{-1}.
    • Fator \dfrac{1}{4\pi k}=\dfrac{1}{4\pi\cdot 0,06}\approx 1,3263\\ \mathrm{(m\cdot K)/W}.
    • Logo
    R_{\text{cond}}(r_{i}\to r_{o})\approx 1,3263\times 0,095238 \approx 0,1263\\ \mathrm{K/W}.
  • Agora R_{\text{conv}}:
    • 4\pi r_{o}^{2} h = 4\pi (1,75)^{2}\cdot 6 \approx 230,907.
    • Logo
    R_{\text{conv}}=\frac{1}{230,907}\approx 0,00433\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência total:
R_{\text{tot}}\approx 0,1263+0,00433\approx 0,1306\\ \mathrm{K/W}.
  • Fluxo de calor:
    • Diferença de temperatura: T_{\infty}-T_{i}=20-(-60)=80\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
    • Assim
    \dot{Q}=\frac{80}{0,1306}\approx 612,5\\ \mathrm{W}.
Explicação curta: esse \dot{Q} é a potência que o ambiente fornece ao tanque através do isolamento. Como R_{\text{cond}}\gg R_{\text{conv}} (0,1263 vs 0,00433), a resistência de condução na casca domina o comportamento térmico.

Passo 5

Expressão para T(r) dentro do isolamento e uso para achar a isoterma 0^{\circ}\mathrm{C}.
  • A queda de temperatura entre r_{i} e um raio r (com r_{i}\le r\le r_{o}) devido à condução é dada por \dot{Q} vezes a resistência de condução entre r_{i} e r:
T(r)-T_{i}=\dot{Q}\;R_{\text{cond}}(r_{i}\to r) =\dot{Q}\,\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r}\right).
  • Queremos T(r)=0^{\circ}\mathrm{C}. Substituindo T(r)=0 e isolando \dfrac{1}{r}:
0-T_{i}=\dot{Q}\,\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r}\right).
Como T_{i}=-60^{\circ}\mathrm{C}, tem-se
60=\dot{Q}\,\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r}\right).
  • Isolando \dfrac{1}{r}:
\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{i}}-\frac{60\cdot 4\pi k}{\dot{Q}}.
Mas eu já calculei numericamente \dot{Q} e \dfrac{1}{4\pi k}, então uso os números obtidos no Passo 4 para resolver diretamente a expressão mais simples:
\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{i}}-\frac{60}{\dot{Q}}\left(\frac{1}{4\pi k}\right)^{-1}\!\!\!.
(para manter tudo consistente, prossigo com os valores numéricos já calculados).

Passo 6

Cálculo numérico final da posição r onde T=0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Usando o valor \dot{Q}\approx 612,5\\ \mathrm{W} e \dfrac{1}{4\pi k}\approx 1,3263,
    calculo o termo:
\dot{Q}\cdot\frac{1}{4\pi k}\approx 612,5\times 1,3263\approx 812,34.
  • Da equação do Passo 5:
\frac{1}{r}=\frac{1}{1,5}-\frac{60}{812,34}\approx 0,6666667-0,073895\approx 0,592772\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Portanto
r\approx\frac{1}{0,592772}\approx 1,68696\\ \mathrm{m}\approx 1,687\\ \mathrm{m}.
  • Interpretações práticas:
    • Distância a partir da superfície interna do isolamento: r-r_{i}\approx 1,687-1,5=0,18696\\ \mathrm{m}\approx 186,9\\ \mathrm{mm}.
    • Distância até a face externa: r_{o}-r\approx 1,75-1,687=0,063\\ \mathrm{m}\approx 63,1\\ \mathrm{mm}.
      Logo a isoterma de 0^{\circ}\mathrm{C} está dentro do isolamento, a cerca de 187\\ \mathrm{mm} do interior e 63\\ \mathrm{mm} do exterior.

Passo 7

Discussão didática e física sobre a formação de gelo (parte b) — explicação detalhada e qualitativa.
  • Onde a temperatura for igual ou inferior a 0^{\circ}\mathrm{C} dentro do isolamento existe potencial para condensação da umidade do ar que migra para o interior do material. Se o isolamento é permeável à umidade, o vapor d’água pode difundir e condensar nas regiões frias; quando a temperatura local cai a 0^{\circ}\mathrm{C} ou abaixo, a água condensada pode congelar, formando gelo ou gelo-seco (camada de gelo/frost).
  • Efeitos principais sobre a transferência de calor:
    1. Aumento da condutividade térmica efetiva: materiais secos e com poros de ar têm baixa condutividade. A água e, sobretudo, o gelo têm condutividade muito maior que o ar. Assim, a presença de água/ gelo nos poros reduz a resistência térmica do isolamento e aumenta o fluxo de calor (piora o isolamento).
    2. Mudança de propriedades ao longo do tempo: enquanto a umidade migra e congela, a propriedade térmica muda localmente e pode levar a aumento progressivo da perda de calor — um efeito degradante.
    3. Danos mecânicos: ciclos de congelamento e degelo podem causar expansão e fissuração do material isolante, reduzindo ainda mais sua eficácia e sua vida útil.
    4. Formação de camadas impermeáveis: em alguns casos uma camada de gelo próxima à face externa pode agir como barreira temporária à penetração adicional de vapor; isso pode reduzir a taxa de ingresso de nova umidade, mas quase sempre o efeito global é negativo porque a camada congelada tem condutividade muito maior que o ar e, portanto, aumenta o fluxo de calor.
    5. Problemas de operação e segurança: acúmulo de gelo pode levar a escorrimentos, gotejamento quando descongela, e problemas estruturais ou de manutenção.
  • Conclusão qualitativa: se o isolamento for permeável, a região fria em que T\le 0^{\circ}\mathrm{C} tende a atrair condensação e formação de gelo; isso diminui a resistência térmica efetiva do conjunto e, portanto, aumenta o fluxo de calor para o tanque, além de poder danificar o isolamento ao longo do tempo. Em projeto prático, evita-se deixar isoterma de 0^{\circ}\mathrm{C} dentro de isolamento permeável, ou então usa-se barreira de vapor e/ou isolamento com baixa permeabilidade.

Resposta

(a) r\approx 1,687\\ \mathrm{m} (ou seja, r-r_{i}\approx 186,9\\ \mathrm{mm} a partir da superfície interna; r_{o}-r\approx 63,1\\ \mathrm{mm} da face externa).
(b) Formação de gelo: a umidade penetrante condensará e congelará na região onde T\le 0^{\circ}\mathrm{C}; o gelo aumenta a condutividade efetiva do isolamento e reduz sua resistência térmica (logo aumenta o fluxo de calor), além de poder provocar danos mecânicos por ciclos de congelamento/degelo.

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