Considere
Encontre
A^2025 .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede
A^2025 .
O conteúdo que vamos usar é diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores, ou, de forma equivalente, a fórmula de potências baseada no Teorema de Cayley–Hamilton.
O conteúdo que vamos usar é diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores, ou, de forma equivalente, a fórmula de potências baseada no Teorema de Cayley–Hamilton.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
As raízes são
Passo 3
Pela fórmula de potências usando autovalores, para todo inteiro
n temos
Aqui
lambda1 - lambda2 = 4 - (-1) = 5 e
lambda2 - lambda1 = -5 . Logo
Passo 4
Substituindo
n=2025 e lembrando que
(-1)^2025=-1 , obtemos
Agrupando termos em
A e em
I :