Considere
A=[ll 1 & 2 3 & 2 ]
Encontre A^2025.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 3 & 2
e pede A^2025.
O conteúdo que vamos usar é diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores, ou, de forma equivalente, a fórmula de potências baseada no Teorema de Cayley–Hamilton.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det1-lambda & 2 3 & 2-lambda = (1-lambda)(2-lambda) - 6 = lambda^2 -3lambda -4
As raízes são
lambda1 = 4, lambda2 = -1

Passo 3

Pela fórmula de potências usando autovalores, para todo inteiro n temos
A^n = A - lambda2 Ilambda1 - lambda2,lambda1^n + A - lambda1 Ilambda2 - lambda1,lambda2^n
Aqui lambda1 - lambda2 = 4 - (-1) = 5 e lambda2 - lambda1 = -5. Logo
A^n = A + I5,4^n + A - 4I-5,(-1)^n = A + I5,4^n ;-; 4I - A5,(-1)^n

Passo 4

Substituindo n=2025 e lembrando que (-1)^2025=-1, obtemos
A^2025 = A + I5,4^2025 ;-;4I - A5,(-1) = A + I5,4^2025 ;+;4I - A5
Agrupando termos em A e em I:
A^2025 = 4^2025(A+I)+(4I - A)5 = 4^2025A + 4^2025I +4I - A5 = (4^2025+1)A + (4^2025-4)I5

Resposta

A^2025 = 4^2025+15,A ;+;4^2025-45,I

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