Considere o subespaço W de R^3 dado por
W=(x+3 y+z, x+2 y+2 t, y+z-2 t) ; x, y, z, t in R
Verifique se o conjunto S=v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) forma uma base de W, justificando sua resposta!

Passo 1

O enunciado define
W=(x+3y+z,;x+2y+2t,;y+z-2t)colon x,y,z,tinR
e pergunta se
S=v1=(1,1,0),;v2=(0,-1,1)
é uma base de W. Para isso precisamos saber a dimensão de W e comparar com o tamanho de S, além de checar independência linear e geração.

Passo 2

Vamos reescrever um elemento genérico de W como combinação linear de vetores fixos. Seja
(x+3y+z,;x+2y+2t,;y+z-2t) =x,(1,1,0)+y,(3,2,1)+z,(1,2,1)+t,(0,2,-2)
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W=span,w1=(1,1,0),;w2=(3,2,1),;w3=(1,2,1),;w4=(0,2,-2)

Passo 3

Para encontrar dim W, montamos a matriz cujas colunas são w1,w2,w3,w4 e calculamos o posto:
A= 1&3&1&0 1&2&2&2 0&1&1&-2
Aplicando operações de linha obtemos posto 3. Portanto dim W=3.

Passo 4

O conjunto S tem apenas 2 vetores. Mesmo que v1 e v2 sejam linearmente independentes (basta resolver a,v1+b,v2=0), eles geram um subespaço de dimensão <=2, que não alcança dim W=3. Assim S não gera W e não pode ser base de W.

Resposta

S não é base de W, pois dim W=3 mas lvert Srvert=2.

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