Considere a matriz
A=[rrr 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1 ]
Determine os autovalores de A;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores de uma matriz A de ordem 3. Em teoria de autovalores, a gente sabe que \emph{os autovalores são as raízes do polinômio característico}
detl(A - lambda Ir) = 0
Aqui, vamos construir A - lambda I, calcular o determinante e depois fatorar o polinômio para achar os valores de lambda.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz A - lambda I. Se
A = 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1 ,
então
A - lambda I = 1-lambda & 4 & 0 -1 & 1-lambda & -4 0 & -2 & 1-lambda
O próximo passo é expandir o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos calcular
det(A-lambda I) = (1-lambda),det1-lambda & -4 -2 & 1-lambda -4,det-1 & -40 & 1-lambda
Isso dá
(1-lambda)l((1-lambda)^2 - (-4)(-2)r) -4l((-1)(1-lambda)-0r)
Ou seja,
det(A-lambda I) = (1-lambda)l((1-lambda)^2 - 8r) +4,(1-lambda)

Passo 4

Fatoramos o polinômio:
det(A-lambda I) = (1-lambda)l((1-lambda)^2 -8 +4r) = (1-lambda)l((1-lambda)^2 -4r)
Reconhecendo uma diferença de quadrados,
(1-lambda)^2 -4 = l((1-lambda)-2r),l((1-lambda)+2r) = -( lambda+1),(3-lambda)
Logo,
det(A-lambda I) = (1-lambda),(-( lambda+1)),(3-lambda) = (lambda-1),(lambda+1),(lambda-3)
As raízes desse polinômio são as soluções de det(A-lambda I)=0.

Resposta

lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 3.

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