Seja M=(rrr-3 & 0 & 0 0 & 0 & -3 0 & -6 & 3) a matriz de mudança de base C=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) para B=v1, v2, v3.
Encontre a matriz mudança de base B para C.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de mudança de base de C para B como
M = -3 & 0 & 0 0 & 0 & -3 0 & -6 & 3
e pede a matriz de mudança de base de B para C. Sabemos que essa segunda é simplesmente a inversa de M, ou seja ;M^-1.

Passo 2

Para achar M^-1, montamos o sistema M,X=I, onde X=(xij) é a matriz incógnita. Escrevendo coluna a coluna:
1. Coluna 1: M,(a,d,g)^T=(1,0,0)^T leva a
-3a=1, -3g=0, -6d+3g=0
de onde a=-tfrac13, g=0, d=0.
2. Coluna 2: M,(b,e,h)^T=(0,1,0)^T leva a
-3b=0, -3h=1, -6e+3h=0
de onde b=0, h=-tfrac13, e=-tfrac16.
3. Coluna 3: M,(c,f,i)^T=(0,0,1)^T leva a
-3c=0, -3i=0, -6f+3i=1
de onde c=0, i=0, f=-tfrac16.

Passo 3

Reunindo os coeficientes obtidos, temos
M^-1 = a & b & c d & e & f g & h & i = -tfrac13 & 0 & 0 0 & -tfrac16 & -tfrac16 0 & -tfrac13 & 0

Resposta

-tfrac13 & 0 & 0 0 & -tfrac16 & -tfrac16 0 & -tfrac13 & 0

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