Considere a energia potencial de molécula
U=D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right]
e a energia cinética E_{c}=\mu v^{2} / 2 onde \mu=
m M /(m+M) é a massa reduzida. Encontre a frequênicia natural em função de \mu, D e a.

  1. { }^{1} G=6,67 \times 10^{-11} \frac{\mathrm{Nm}^{2}}{\mathrm{~kg}^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial e a energia cinética de uma molécula. Pergunta: encontrar a frequência natural em função de \mu, D e a.
Informações fornecidas:
U=D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right]
E_{c}=\frac{\mu v^{2}}{2}
\mu=\frac{mM}{m+M}
Lista das quantidades que vamos usar: \mu (massa reduzida), D (energia característica), a (comprimento característico), e a variável r (distância entre as partículas). O objetivo é obter a frequência natural da pequena oscilação ao redor do equilíbrio.

Passo 2

Primeiro passo da resolução: achar o ponto de equilíbrio r_0. O equilíbrio está onde a força (derivada negativa da energia potencial) é zero, ou seja onde U'(r)=0. Vou calcular U'(r). Para isso uso derivação de potências: se f(r)=r^{n} então f'(r)=n r^{n-1}. Aplicando a regra em cada termo de U:
U(r)=D\left(a^{12}r^{-12}-2a^{6}r^{-6}\right)
Derivando:
U'(r)=D\left(-12a^{12}r^{-13}+12a^{6}r^{-7}\right).

Passo 3

Agora imponho U'(r)=0 para encontrar r_0:
0= -12D\,a^{12}r^{-13}+12D\,a^{6}r^{-7}.
Posso fatorar 12D\,a^{6}r^{-13}:
0=12D\,a^{6}r^{-13}\left(r^{6}-a^{6}\right).
Como 12D\,a^{6}r^{-13}\neq 0 para r>0, segue
r^{6}-a^{6}=0 \quad\Rightarrow\quad r^{6}=a^{6}.
Tomando a raiz sexta positiva (distância física positiva),
r_{0}=a.

Passo 4

Agora precisamos do segundo derivada U''(r) e avaliá-la em r_0 para obter a “constante elástica efetiva” k. Calculo U''(r) diferenciando U'(r) (novamente usando a regra de potências):
Partindo de
U'(r)= -12D\,a^{12}r^{-13}+12D\,a^{6}r^{-7},
diferencio termo a termo:
U''(r)=(-12D\,a^{12})(-13)r^{-14}+(12D\,a^{6})(-7)r^{-8}.
Simplificando:
U''(r)=156D\,a^{12}r^{-14}-84D\,a^{6}r^{-8}.

Passo 5

Avalio U'' em r_{0}=a. Substituindo r=a:
U''(a)=156D\,a^{12}a^{-14}-84D\,a^{6}a^{-8}.
Simplificando potências:
U''(a)=156D\,a^{-2}-84D\,a^{-2}=(156-84)D\,a^{-2}=72D\,a^{-2}.
Portanto a constante elástica efetiva (a curvatura da potencial no mínimo) é
k \equiv U''(a)=\frac{72D}{a^{2}}.

Passo 6

Explico por que usamos k=U''(a) para obter a frequência: para pequenas oscilações em torno do equilíbrio r=r_{0}+x com x pequeno, a expansão de Taylor da energia potencial até segunda ordem dá
U(r)\approx U(r_{0})+\frac{1}{2}U''(r_{0})x^{2},
ou seja um potencial aproximadamente harmônico com constante elástica k=U''(r_{0}). A equação de movimento para a coordenada relativa x é
\mu \ddot{x}+k x=0.
Essa é a equação do oscilador harmônico simples. Da solução padrão sabemos que a frequência angular natural \omega_{0} satisfaz
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{\mu}}.
E a frequência em hertz (ciclos por segundo) é \nu=\omega_{0}/(2\pi).

Passo 7

Substituo k=72D/a^{2} em \omega_{0}=\sqrt{k/\mu}:
\omega_{0}=\sqrt{\frac{72D/a^{2}}{\mu}}=\sqrt{\frac{72D}{\mu a^{2}}}.
Posso simplificar \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}, então
\omega_{0}=6\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}.
A frequência em hertz é
\nu=\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{6\sqrt{2}}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}.

Resposta

\omega_{0}=6\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}
\nu=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}

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