Considere a energia potencial de molécula
e a energia cinética
onde
é a massa reduzida. Encontre a frequênicia natural em função de
e
.
-
.
.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial e a energia cinética de uma molécula. Pergunta: encontrar a frequência natural em função de
,
e
.
Informações fornecidas:
Lista das quantidades que vamos usar:
(massa reduzida),
(energia característica),
(comprimento característico), e a variável
(distância entre as partículas). O objetivo é obter a frequência natural da pequena oscilação ao redor do equilíbrio.
Passo 2
Primeiro passo da resolução: achar o ponto de equilíbrio
. O equilíbrio está onde a força (derivada negativa da energia potencial) é zero, ou seja onde
. Vou calcular
. Para isso uso derivação de potências: se
então
. Aplicando a regra em cada termo de
:
Derivando:
Passo 3
Agora imponho
para encontrar
:
Posso fatorar
:
Como
para
, segue
Tomando a raiz sexta positiva (distância física positiva),
Passo 4
Agora precisamos do segundo derivada
e avaliá-la em
para obter a “constante elástica efetiva”
. Calculo
diferenciando
(novamente usando a regra de potências):
Partindo de
diferencio termo a termo:
Simplificando:
Passo 5
Avalio
em
. Substituindo
:
Simplificando potências:
Portanto a constante elástica efetiva (a curvatura da potencial no mínimo) é
Passo 6
Explico por que usamos
para obter a frequência: para pequenas oscilações em torno do equilíbrio
com
pequeno, a expansão de Taylor da energia potencial até segunda ordem dá
ou seja um potencial aproximadamente harmônico com constante elástica
. A equação de movimento para a coordenada relativa
é
Essa é a equação do oscilador harmônico simples. Da solução padrão sabemos que a frequência angular natural
satisfaz
E a frequência em hertz (ciclos por segundo) é
.
Passo 7
Substituo
em
:
Posso simplificar
, então
A frequência em hertz é