Considere a energia potencial de molécula
U=D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right]
e a energia cinética E_{c}=\mu v^{2} / 2 onde \mu=
m M /(m+M) é a massa reduzida. Encontre a frequênicia natural em função de \mu, D e a.

  1. { }^{1} G=6,67 \times 10^{-11} \frac{\mathrm{Nm}^{2}}{\mathrm{~kg}^{2}}.

Passo 1

O enunciado fornece a energia potencial
U = D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right]
e a energia cinética \displaystyle E_{c}=\frac{\mu v^{2}}{2}, com \mu=\dfrac{mM}{m+M} (massa reduzida). A tarefa é: encontrar a frequência natural (em função de \mu, D e a).\n
Dados relevantes que temos: \,U(r) acima, parâmetro D, parâmetro a, e \mu. A resposta deve ser uma expressão que envolva apenas \mu, D e a (além de constantes numéricas).

Passo 2

Ideia física e técnica que vamos usar (explicação didática passo a passo):
Quando um sistema tem uma energia potencial U(r) e é perturbado levemente em torno de um ponto de equilíbrio r_{0}, a dinâmica pequena pode ser aproximada por um oscilador harmônico. A razão é que qualquer função suave pode ser aproximada por sua série de Taylor em torno de r_{0}. Escrevendo a expansão de Taylor de U(r) em torno de r_{0} até a ordem dois:
U(r)\approx U(r_{0}) + U'(r_{0})(r-r_{0}) + \tfrac{1}{2}U''(r_{0})(r-r_{0})^{2}.
Num ponto de equilíbrio estável temos U'(r_{0})=0, então o termo linear some e a aproximação quadrática domina. Assim o potencial efetivo perto de r_{0} é
U_{\text{efet}}(r)\approx U(r_{0}) + \tfrac{1}{2}k(r-r_{0})^{2},
onde definimos a constante elástica efetiva
k = U''(r_{0}).
Para um oscilador harmônico com massa efetiva \mu e constante elástica k, a pulsação (frequência angular) é
\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}}.
A frequência (em Hz) é
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Portanto o plano é: (i) achar o ponto de equilíbrio r_{0} resolvendo U'(r)=0; (ii) calcular U''(r) e avaliá-lo em r_{0} para obter k; (iii) usar \omega=\sqrt{k/\mu} e, se quiser, f=\omega/(2\pi).

Passo 3

Calcular o ponto de equilíbrio r_{0} resolvendo U'(r)=0. Primeiro derivamos U(r) em relação a r. Partimos de
U(r)=D\left(a^{12}r^{-12}-2a^{6}r^{-6}\right).
Derivando termo a termo (lembrando que \dfrac{d}{dr}r^{-n}=-n r^{-n-1}):
U'(r)=D\left(-12a^{12}r^{-13} + 12a^{6}r^{-7}\right).
Colocando em evidência 12Da^{6}r^{-13}:
U'(r)=12D a^{6} r^{-13}\left(r^{6}-a^{6}\right).
Para o equilíbrio, U'(r_{0})=0. A solução física positiva é
r_{0}=a.

Passo 4

Calcular a segunda derivada U''(r) e avaliá-la em r_{0}=a. Partimos de
U'(r)=D\left(-12a^{12}r^{-13}+12a^{6}r^{-7}\right).
Derivando novamente:
U''(r)=D\left[(-12a^{12})(-13)r^{-14} + (12a^{6})(-7)r^{-8}\right].
Simplificando os coeficientes:
U''(r)=D\left(156a^{12}r^{-14} -84a^{6}r^{-8}\right).
Agora avaliamos em r=a. Substituindo r=a (usar que a^{12}a^{-14}=a^{-2} e a^{6}a^{-8}=a^{-2}):
U''(a)=D\left(156a^{-2}-84a^{-2}\right)=D\cdot 72a^{-2}.
Portanto a constante elástica efetiva é
k = U''(a)=\frac{72D}{a^{2}}.

Passo 5

Obter a frequência angular \omega. Usando \omega=\sqrt{k/\mu} e substituindo k:
\omega=\sqrt{\frac{72D}{a^{2}\mu}}.
Podemos simplificar \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}, logo
\omega = 6\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}.

Passo 6

Obter a frequência comum f (em Hz), já que às vezes “frequência natural” refere-se a f. Temos
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{6\sqrt{2}}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}.
Resumo: a pulsação natural e a frequência em Hz ficam expressas em função de \mu, D e a pelas fórmulas acima. Força um último incentivo: você já fez o passo mais difícil — aproximar por quadrática — agora é só substituir!

Resposta

\omega = 6\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}
f = \frac{3\sqrt{2}}{\pi}\,\sqrt{\frac{D}{\mu a^{2}}}

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