Considere a energia potencial de molécula
e a energia cinética
onde
é a massa reduzida. Encontre a frequênicia natural em função de
e
.
-
.
.
Passo 1
O enunciado fornece a energia potencial
e a energia cinética
, com
(massa reduzida). A tarefa é: encontrar a frequência natural (em função de
,
e
).\n
Dados relevantes que temos: acima, parâmetro
, parâmetro
, e
. A resposta deve ser uma expressão que envolva apenas
,
e
(além de constantes numéricas).
Dados relevantes que temos:
Passo 2
Ideia física e técnica que vamos usar (explicação didática passo a passo):
Quando um sistema tem uma energia potencial e é perturbado levemente em torno de um ponto de equilíbrio
, a dinâmica pequena pode ser aproximada por um oscilador harmônico. A razão é que qualquer função suave pode ser aproximada por sua série de Taylor em torno de
. Escrevendo a expansão de Taylor de
em torno de
até a ordem dois:
Quando um sistema tem uma energia potencial
Num ponto de equilíbrio estável temos
, então o termo linear some e a aproximação quadrática domina. Assim o potencial efetivo perto de
é
onde definimos a constante elástica efetiva
Para um oscilador harmônico com massa efetiva
e constante elástica
, a pulsação (frequência angular) é
A frequência (em Hz) é
Portanto o plano é: (i) achar o ponto de equilíbrio
resolvendo
; (ii) calcular
e avaliá-lo em
para obter
; (iii) usar
e, se quiser,
.
Passo 3
Calcular o ponto de equilíbrio
resolvendo
. Primeiro derivamos
em relação a
. Partimos de
Derivando termo a termo (lembrando que
):
Colocando em evidência
:
Para o equilíbrio,
. A solução física positiva é
Passo 4
Calcular a segunda derivada
e avaliá-la em
. Partimos de
Derivando novamente:
Simplificando os coeficientes:
Agora avaliamos em
. Substituindo
(usar que
e
):
Portanto a constante elástica efetiva é
Passo 5
Obter a frequência angular
. Usando
e substituindo
:
Podemos simplificar
, logo
Passo 6
Obter a frequência comum
(em Hz), já que às vezes “frequência natural” refere-se a
. Temos
Resumo: a pulsação natural e a frequência em Hz ficam expressas em função de
,
e
pelas fórmulas acima. Força um último incentivo: você já fez o passo mais difícil — aproximar por quadrática — agora é só substituir!