Determine a potência complexa total da planta industrial \mathbb{S}=\sum_{n=A}^{G} \mathbb{S}_{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a potência complexa total da planta industrial dada por \mathbb{S}=\sum_{n=A}^{G}\mathbb{S}_{n}.
Informações explicitamente fornecidas no enunciado:
  • A expressão geral da potência total como soma das potências complexas individuais \mathbb{S}_{n}, com índices n=A,\dots,G.
Informações que não foram fornecidas (necessárias para um número final):
  • Os valores numéricos ou forma explícita de cada \mathbb{S}_{n} (por exemplo, \mathbb{S}_{A},\mathbb{S}_{B},\dots,\mathbb{S}_{G}).
    Como esses valores não foram dados, só podemos apresentar a solução em forma algébrica/simbólica e explicar passo a passo como proceder para calcular a potência total quando os \mathbb{S}_{n} forem conhecidos.

Passo 2

O que é a potência complexa de uma carga/ramo: a potência complexa \mathbb{S} combina a potência ativa (real) e a potência reativa (imaginária). Definição básica:
\mathbb{S} = P + jQ,
onde:
  • P é a potência ativa (em watts, W) — a parte que efetivamente realiza trabalho ou é transformada em calor/energia útil;
  • Q é a potência reativa (em volt-ampere reativo, VAr) — associada à energia que oscila entre fonte e reativo (indutâncias/capacitores);
  • j é a unidade imaginária (usamos j em engenharia elétrica, equivalente a i na matemática).
Unidade de \mathbb{S}: volt-ampere (VA). Mesmo que P esteja em W e Q em VAr, combinamos em VA complexos.

Passo 3

Outra forma muito usada para obter \mathbb{S} quando temos fasores de tensão e corrente:
\mathbb{S} = V\,I^{*},
onde:
  • V é o fasor da tensão (por exemplo V=|V|\angle\theta_V);
  • I é o fasor da corrente ( I=|I|\angle\theta_I);
  • I^{*} é o conjugado complexo de I (inverte o sinal do ângulo: I^{*}=|I|\angle(-\theta_I)).
Explicando por que: multiplicando V por I^{*} obtemos uma quantidade cuja parte real é P e cuja parte imaginária é Q. Se você tiver medições de tensão e corrente em fasores, calcule \mathbb{S} assim.

Passo 4

Como extrair P e Q a partir de magnitudes e ângulo (fator de potência):
Se o ângulo entre tensão e corrente é \varphi=\theta_V-\theta_I, então:
P = |V||I|\cos\varphi,
Q = |V||I|\sin\varphi.
Portanto,
\mathbb{S} = |V||I|(\cos\varphi + j\sin\varphi)=|V||I|\angle\varphi.
Interpretação do sinal de Q: Q>0 normalmente indica carga indutiva (corrente defasada atrasada), Q<0 indica carga capacitiva (corrente adiantada).

Passo 5

Como somar potências complexas: regra prática
Se cada carga n tem \mathbb{S}_{n}=P_{n}+jQ_{n}, então a potência total é a soma termo a termo:
\sum_{n=A}^{G}\mathbb{S}_{n}=\sum_{n=A}^{G}(P_{n}+jQ_{n})=\left(\sum_{n=A}^{G}P_{n}\right)+j\left(\sum_{n=A}^{G}Q_{n}\right).
Ou seja, somamos todas as potências ativas para obter P_{\text{tot}} e somamos todas as reativas para obter Q_{\text{tot}}. Esse é o passo mecânico que você fará na prova: somar as partes reais e as partes imaginárias separadamente.

Passo 6

Se as \mathbb{S}_{n} vierem em forma polar (módulo e ângulo) faça assim:
  1. Converta cada \mathbb{S}_{n}=|\mathbb{S}_{n}|\angle\theta_{n} para forma retangular:
\mathbb{S}_{n}=|\mathbb{S}_{n}|(\cos\theta_{n}+j\sin\theta_{n}) = P_{n}+jQ_{n}.
  1. Some as partes reais: P_{\text{tot}}=\sum P_{n}.
  2. Some as partes imaginárias: Q_{\text{tot}}=\sum Q_{n}.
  3. Se quiser o módulo e ângulo da potência total:
|\mathbb{S}_{\text{tot}}|=\sqrt{P_{\text{tot}}^{2}+Q_{\text{tot}}^{2}},
\angle\mathbb{S}_{\text{tot}}=\operatorname{atan2}(Q_{\text{tot}},P_{\text{tot}}),
onde \operatorname{atan2} cuida da quadrante apropriado (importante para sinais de P_{\text{tot}} e Q_{\text{tot}}).

Passo 7

Dicas práticas para a prova (passo a passo rápido que você pode aplicar sob pressão):
  1. Para cada n (de A a G), escreva \mathbb{S}_{n} em forma retangular P_{n}+jQ_{n}. Se já vier assim, ótimo.
  2. Faça uma coluna com os P_{n} e some: P_{\text{tot}}=\sum_{n}P_{n}.
  3. Faça uma coluna com os Q_{n} e some: Q_{\text{tot}}=\sum_{n}Q_{n}.
  4. Escreva \mathbb{S}_{\text{tot}} = P_{\text{tot}} + jQ_{\text{tot}}.
  5. Se pedirem magnitude/ângulo, calcule usando as fórmulas do Passo 6.
    Anote unidades: P_{\text{tot}} em W, Q_{\text{tot}} em VAr, \mathbb{S}_{\text{tot}} em VA (complexo).

Passo 8

Exemplo didático (aplicando o método passo a passo)
Suponha três cargas hipotéticas (só para ver o procedimento):
\mathbb{S}_{1}=10 + j5\quad\text{(VA)},\qquad \mathbb{S}_{2}=8 - j3\quad\text{(VA)},\qquad \mathbb{S}_{3}=6 + j2\quad\text{(VA)}.
Soma das partes reais:
P_{\text{tot}}=10 + 8 + 6 = 24.
Soma das partes reativas:
Q_{\text{tot}}=5 - 3 + 2 = 4.
Logo,
\mathbb{S}_{\text{tot}} = 24 + j4\quad\text{(VA)}.
Magnitude e ângulo:
|\mathbb{S}_{\text{tot}}|=\sqrt{24^{2}+4^{2}}=\sqrt{576+16}=\sqrt{592}\approx 24{,}33\\ \text{VA},
\angle\mathbb{S}_{\text{tot}}=\operatorname{atan2}(4,24)\approx 9{,}46^\circ.
Esse exemplo mostra exatamente as operações que você precisa repetir com sete termos A a G.

Passo 9

Conclusão aplicada ao enunciado real: como os valores individuais \mathbb{S}_{A},\dots,\mathbb{S}_{G} não foram fornecidos numericamente, a forma correta e final da potência complexa total é a expressão algébrica abaixo. Quando você tiver cada \mathbb{S}_{n} numérica, aplique os passos anteriores (converter para retangular se necessário e somar parte real e imaginária).

Resposta

\mathbb{S}=\sum_{n=A}^{G}\mathbb{S}_{n}=\left(\sum_{n=A}^{G}P_{n}\right)+j\left(\sum_{n=A}^{G}Q_{n}\right).

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