Considere o enunciado abaixo para as questões de 1 a 5 .
Um capacitor de placas paralelas de área 4 centímetros quadrados e distância 4 milímetros entre as placas é carregado por uma bateria de tensão V=20 \mathrm{~V}. Este é o estado inicial do capacitor. Em seguida, a bateria é desligada e a distância entre as placas é aumèntada em 1 milímetro. Este é o estado final do capacitor.
3-(Camada 1) Marque abaixo a opção que representa a diferença de potencial entre as placas no estado final:
(α) V_{f}=12,5 Volt.
( \beta ) V_{f}=16 Volt.
( \gamma ) V_{f}=25 Volt.
3-(Camada 2) Marque abaixo a opção que justifique à resposta da questão anterior:
( \alpha ) A carga elétrica é a mesma nos estados inicial e final e a capacitância do capacitor no estado final é igual a \frac{4}{5} \cdot 10^{-1} \varepsilon_{0} \mathbf{F}.
( \beta ) A carga elétrica do estado final é a metade da carga elétrica do estado inicial e a capacitância do capacitor no estado final é igual a \frac{4}{5} \cdot 10^{-1} \varepsilon_{0} \mathrm{~F}. -
( \gamma ) A carga elétrica é a mesma nos estados inicial e final e a capacitância do capacitor no estado final é igual a \frac{5}{4} \cdot 10^{-1} \varepsilon_{0} \mathrm{~F}.
Resposta Questão 3 (Preencher no Gabarito)
A combinação correta das respostas é:

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue entre parênteses eu peguei do enunciado).
  • Dados do capacitor (peguei do enunciado):
    • Área das placas: A=4\\ \text{cm}^2.
    • Distância inicial entre as placas: d_i=4\\ \text{mm}.
    • A bateria fornece inicialmente V_i=20\\ \text{V} (capacitor carregado com essa tensão).
    • A bateria é então desligada (o capacitor fica isolado) e a distância é aumentada em 1\\ \text{mm}, portanto a distância final é d_f=5\\ \text{mm}.
  • O enunciado pede (questão 3):
    • Camada 1: identificar a diferença de potencial entre as placas no estado final; as opções são:
      • (\alpha) V_f=12{,}5\\ \text{Volt}.
      • (\beta) V_f=16\\ \text{Volt}.
      • (\gamma) V_f=25\\ \text{Volt}.
    • Camada 2: escolher a justificativa correta; as opções são:
      • (\alpha) A carga elétrica é a mesma nos estados inicial e final e a capacitância no estado final é igual a \dfrac{4}{5}\cdot 10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.
      • (\beta) A carga elétrica do estado final é a metade da carga elétrica do estado inicial e a capacitância no estado final é igual a \dfrac{4}{5}\cdot 10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.
      • (\gamma) A carga elétrica é a mesma nos estados inicial e final e a capacitância no estado final é igual a \dfrac{5}{4}\cdot 10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas vale
C=\varepsilon_0\,\frac{A}{d},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante),
  • A é a área das placas (em \text{m}^2),
  • d é a separação entre as placas (em \text{m}).
  • Cuidado com unidades: é necessário converter \text{cm}^2 e \text{mm} para \text{m}^2 e \text{m}.
  • Se o capacitor é isolado (bateria desligada), a carga Q nas placas permanece constante. Isso porque não há circuito para a carga escapar.
  • Relação entre carga, capacitância e tensão:
Q = C\,V.
Com Q constante, a tensão final é
V_f=\frac{Q}{C_f}=\frac{C_i V_i}{C_f}=\frac{C_i}{C_f}\,V_i.
Como C\propto 1/d (área constante), tem-se \dfrac{C_i}{C_f}=\dfrac{d_f}{d_i}. Portanto uma forma rápida de ver a variação da tensão é
V_f = \frac{d_f}{d_i}\,V_i.
Vou usar essa relação e também farei os cálculos explícitos de C_i e C_f para ficar bem claro.

Passo 3

Converter unidades e calcular a capacitância inicial C_i.
  • Converter a área:
A=4\\ \text{cm}^2 = 4\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.
(Explicação: 1\\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\\ \text{m}^2, então multiplicar por 4.)
  • Converter a distância inicial:
d_i=4\\ \text{mm} = 4\times 10^{-3}\\ \text{m}.
(Explicação: 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}.)
  • Agora aplicar C=\varepsilon_0\frac{A}{d}:
C_i=\varepsilon_0\frac{4\times 10^{-4}}{4\times 10^{-3}} =\varepsilon_0\cdot\frac{4}{4}\cdot 10^{-4+3} =\varepsilon_0\cdot 10^{-1} =10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.
(Interpretação: C_i=0{,}1\,\varepsilon_0, ou seja \,10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.)

Passo 4

Calcular a capacitância final C_f.
  • Distância final:
d_f = d_i + 1\\ \text{mm} = 4\\ \text{mm} + 1\\ \text{mm} = 5\\ \text{mm} = 5\times 10^{-3}\\ \text{m}.
  • Capacitância final:
C_f=\varepsilon_0\frac{A}{d_f} =\varepsilon_0\frac{4\times 10^{-4}}{5\times 10^{-3}} =\varepsilon_0\cdot\frac{4}{5}\cdot 10^{-1} =\frac{4}{5}\cdot 10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.
(Interpretação: numericamente C_f=0{,}08\,\varepsilon_0.)
  • Observação importante sobre a carga: como a bateria foi desligada, a carga Q permanece a mesma no estado inicial e final. Portanto a afirmação “a carga elétrica é a mesma nos estados inicial e final” é correta.

Passo 5

Calcular a diferença de potencial final V_f.
  • Usando Q=C_i V_i e V_f=Q/C_f, obtemos
V_f=\frac{C_i}{C_f}\,V_i.
  • Como C_i/C_f = \dfrac{10^{-1}\varepsilon_0}{\tfrac{4}{5}\cdot 10^{-1}\varepsilon_0}=\dfrac{1}{4/5}=\dfrac{5}{4}=1{,}25, então
V_f=\frac{5}{4}\,V_i=1{,}25\times 20\\ \text{V}=25\\ \text{V}.
  • Alternativamente, pela relação direta comentada antes ( V_f = \dfrac{d_f}{d_i}V_i), tem-se V_f=\dfrac{5}{4}\cdot 20\\ \text{V}=25\\ \text{V}.

Passo 6

Resumo dos resultados calculados (sem colocar a combinação final de alternativas aqui, apenas os fatos numéricos e lógicos usados para escolher a alternativa):
  • A carga Q permanece a mesma (bateria desligada).
  • C_i=10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.
  • C_f=\dfrac{4}{5}\cdot 10^{-1}\varepsilon_0\\ \text{F}.
  • V_f=25\\ \text{V}.

Resposta

\gamma,\\ \alpha

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