Considere a equação
note que a soma dos termos acima da chave é uma série geométrica infinita. Determine o(s) valor(es) de
que satisfaz(em) a equação.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação que envolve uma soma infinita de termos que formam uma série geométrica. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ x $ que tornam essa equação verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série que estão dentro da equação:
Percebemos que, após o primeiro termo ($ \frac{1}{90}x^{2} $), cada termo subsequente é obtido multiplicando o anterior por uma razão comum. Isso caracteriza uma série geométrica infinita.
Passo 3
Para resolver esse tipo de série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando a razão $ r $ da série satisfaz $ |r| < 1 $. A fórmula é:
Onde:
- $ S $ é a soma da série.
- $ a_{1} $ é o primeiro termo da série.
- $ r $ é a razão comum entre os termos.
Passo 4
Vamos identificar $ a_{1} $ e $ r $ na nossa série:
- Primeiro termo ($ a_{1} $):
- Razão comum ($ r $):
Para encontrar $ r $, dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Então, $ r = \frac{9}{2x} $.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da soma da série:
Vamos resolver essa equação para $ x $:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - \frac{9}{2x} $:
Multiplicando ambos os lados por 90 para eliminar o denominador:
Distribuindo o 6:
Multiplicando ambos os lados por $ x $ para eliminar a fração:
Reorganizando os termos:
Passo 6
Agora, temos uma equação cúbica:
Vamos tentar encontrar soluções reais para essa equação. Primeiramente, podemos tentar testar algumas raízes racionais possíveis.
- Teste com $ x = 3 $:
- Teste com $ x = -3 $:
Nenhuma dessas tentativas resultou em zero. Além disso, analisando o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 6x + 27 $, percebemos que não há interseções com o eixo $ x $ no intervalo onde $ |x| > 4{,}5 $ (necessário para que $ |r| < 1 $ na série geométrica). Portanto, não existem valores reais de $ x $ que satisfaçam a equação inicial.
Resposta
Não existem valores reais de $ x $ que satisfazem a equação dada.