Considere a equação
190 x^2+120 x+1200 x+12000 x+cdots=115
note que a soma dos termos acima da chave é uma série geométrica infinita. Determine o(s) valor(es) de x que satisfaz(em) a equação.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação que envolve uma soma infinita de termos que formam uma série geométrica. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ x $ que tornam essa equação verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série que estão dentro da equação:
190x^2 + 120x + 1200x + 12000x + cdots = 115
Percebemos que, após o primeiro termo ($ \frac{1}{90}x^{2} $), cada termo subsequente é obtido multiplicando o anterior por uma razão comum. Isso caracteriza uma série geométrica infinita.

Passo 3

Para resolver esse tipo de série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando a razão $ r $ da série satisfaz $ |r| < 1 $. A fórmula é:
r
Onde:
  • $ S $ é a soma da série.
  • $ a_{1} $ é o primeiro termo da série.
  • $ r $ é a razão comum entre os termos.

Passo 4

Vamos identificar $ a_{1} $ e $ r $ na nossa série:
  • Primeiro termo ($ a_{1} $):
a1
  • Razão comum ($ r $):
Para encontrar $ r $, dividimos o segundo termo pelo primeiro:
r
Então, $ r = \frac{9}{2x} $.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da soma da série:
a11 - r = 190x^21 - 92x = 115
Vamos resolver essa equação para $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - \frac{9}{2x} $:
190x^21 - 92x = 115
Multiplicando ambos os lados por 90 para eliminar o denominador:
1 - 92x
Distribuindo o 6:
190x^2 = 115 (1 - 92x)
Multiplicando ambos os lados por $ x $ para eliminar a fração:
x^2 = 6 (1 - 92x)
Reorganizando os termos:
x^2 = 6 - 27x

Passo 6

Agora, temos uma equação cúbica:
x^3 - 6x + 27 = 0
Vamos tentar encontrar soluções reais para essa equação. Primeiramente, podemos tentar testar algumas raízes racionais possíveis.
  • Teste com $ x = 3 $:
x = 3
  • Teste com $ x = -3 $:
3^3 - 6(3) + 27 = 27 - 18 + 27 = 36 neq 0
Nenhuma dessas tentativas resultou em zero. Além disso, analisando o gráfico da função $ f(x) = x^{3} - 6x + 27 $, percebemos que não há interseções com o eixo $ x $ no intervalo onde $ |x| > 4{,}5 $ (necessário para que $ |r| < 1 $ na série geométrica). Portanto, não existem valores reais de $ x $ que satisfaçam a equação inicial.

Resposta

Não existem valores reais de $ x $ que satisfazem a equação dada.

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