Utilize a série geométrica para encontrar a fração reduzida que define a dizima periódica 0,2222 …
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série geométrica para transformar a dízima periódica 0,2222… em uma fração. Basicamente, vamos entender como somar uma sequência de números que se repete e transformar isso em uma fração simplificada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a dízima periódica 0,2222… como uma soma infinita. Isso significa que temos:
Viu? Cada número após a vírgula é 10 vezes menor que o anterior.
Passo 3
Agora, vamos identificar os elementos da série geométrica. Uma série geométrica tem um primeiro termo (a) e uma razão ® que multiplica cada termo para chegar no próximo. No nosso caso:
- Primeiro termo, $ a = 0,2 $
- Razão, $ r = 0,1 $ (porque cada termo é 1/10 do anterior)
Passo 4
Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
Onde $ S $ é a soma da série. Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a divisão:
A gente pode multiplicar numerador e denominador por 10 pra facilitar a conta.
Resposta
A fração reduzida que representa a dízima 0,2222… é
.