Utilize a série geométrica para encontrar a fração reduzida que define a dizima periódica 0,2222 …

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série geométrica para transformar a dízima periódica 0,2222… em uma fração. Basicamente, vamos entender como somar uma sequência de números que se repete e transformar isso em uma fração simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a dízima periódica 0,2222… como uma soma infinita. Isso significa que temos:
0,2222 = 0,2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + dots
Viu? Cada número após a vírgula é 10 vezes menor que o anterior.

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da série geométrica. Uma série geométrica tem um primeiro termo (a) e uma razão ® que multiplica cada termo para chegar no próximo. No nosso caso:
  • Primeiro termo, $ a = 0,2 $
  • Razão, $ r = 0,1 $ (porque cada termo é 1/10 do anterior)

Passo 4

Para somar uma série geométrica infinita, usamos a fórmula:
S = a1 - r
Onde $ S $ é a soma da série. Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos na fórmula:
S = 0,21 - 0,1
S = 0,20,9

Passo 6

Agora, vamos simplificar a divisão:
0,20,9 = 29
A gente pode multiplicar numerador e denominador por 10 pra facilitar a conta.

Resposta

A fração reduzida que representa a dízima 0,2222… é 29.

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