Considere a função dada por
.
Determine a equação e o esboço das curvas de nivel para
e
(coloque a escala).
Determine a equação e o esboço das curvas de nivel para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $ e precisa descobrir as equações e desenhar as curvas de nível para $ k = \frac{1}{9} $, $ k = 1 $ e $ k = 9 $. Isso envolve entender o que são curvas de nível na matemática, que são linhas onde a função assume um valor constante $ k $. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da função e entender um pouco sobre geometria das curvas resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos $ (x, y) $ onde a função $ f(x, y) $ tem o mesmo valor $ k $. Então, para cada valor de $ k $, teremos uma curva diferente.
Nossa função é $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $. Para encontrar a equação das curvas de nível, vamos igualar $ f(x, y) $ a $ k $:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para $ x $ e $ y $. Primeiramente, invertemos os dois lados para facilitar:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem $ (0, 0) $ e raio $ r = \sqrt{\frac{1}{k}} $.
Passo 4
Vamos aplicar isso para cada valor de $ k $:
- Para $ k = \frac{1}{9} $:
Então, temos um círculo de raio $ \sqrt{9} = 3 $.
- Para $ k = 1 $:
Aqui, o raio é $ \sqrt{1} = 1 $.
- Para $ k = 9 $:
O raio será $ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.
Passo 5
Agora, vamos resumir as equações das curvas de nível:
- Para $ k = \frac{1}{9} $: $ x^{2} + y^{2} = 9 $ (Círculo com raio 3)
- Para $ k = 1 $: $ x^{2} + y^{2} = 1 $ (Círculo com raio 1)
- Para $ k = 9 $: $ x^{2} + y^{2} = \frac{1}{9} $ (Círculo com raio $ \frac{1}{3} $)
Passo 6
Para o esboço das curvas de nível, vamos imaginar três círculos concêntricos (todos com o mesmo centro na origem):
- Círculo maior: Raio 3 ($ k = \frac{1}{9} $)
- Círculo médio: Raio 1 ($ k = 1 $)
- Círculo menor: Raio $ \frac{1}{3} $ ($ k = 9 $)
A escala no desenho deve refletir esses tamanhos, mostrando claramente os três círculos um dentro do outro.
Resposta
As equações das curvas de nível para a função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $ são:
- Para $ k = \frac{1}{9} $: $ x^{2} + y^{2} = 9 $
- Para $ k = 1 $: $ x^{2} + y^{2} = 1 $
- Para $ k = 9 $: $ x^{2} + y^{2} = \frac{1}{9} $
O esboço das curvas de nível consiste em três círculos concêntricos com centros na origem e raios 3, 1 e $ \frac{1}{3} $, respectivamente.