Considere a função dada por f(x, y)=1x^2+y^2.
Determine a equação e o esboço das curvas de nivel para k=1 / 9, k=1 e k=9 (coloque a escala).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $ e precisa descobrir as equações e desenhar as curvas de nível para $ k = \frac{1}{9} $, $ k = 1 $ e $ k = 9 $. Isso envolve entender o que são curvas de nível na matemática, que são linhas onde a função assume um valor constante $ k $. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da função e entender um pouco sobre geometria das curvas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos $ (x, y) $ onde a função $ f(x, y) $ tem o mesmo valor $ k $. Então, para cada valor de $ k $, teremos uma curva diferente.
Nossa função é $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $. Para encontrar a equação das curvas de nível, vamos igualar $ f(x, y) $ a $ k $:
(x, y)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para $ x $ e $ y $. Primeiramente, invertemos os dois lados para facilitar:
x
Essa é a equação de um círculo com centro na origem $ (0, 0) $ e raio $ r = \sqrt{\frac{1}{k}} $.

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada valor de $ k $:
  1. Para $ k = \frac{1}{9} $:
k
Então, temos um círculo de raio $ \sqrt{9} = 3 $.
  1. Para $ k = 1 $:
k = 19
Aqui, o raio é $ \sqrt{1} = 1 $.
  1. Para $ k = 9 $:
x^2 + y^2 = 119 = 9
O raio será $ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.

Passo 5

Agora, vamos resumir as equações das curvas de nível:
  • Para $ k = \frac{1}{9} $: $ x^{2} + y^{2} = 9 $ (Círculo com raio 3)
  • Para $ k = 1 $: $ x^{2} + y^{2} = 1 $ (Círculo com raio 1)
  • Para $ k = 9 $: $ x^{2} + y^{2} = \frac{1}{9} $ (Círculo com raio $ \frac{1}{3} $)

Passo 6

Para o esboço das curvas de nível, vamos imaginar três círculos concêntricos (todos com o mesmo centro na origem):
  1. Círculo maior: Raio 3 ($ k = \frac{1}{9} $)
  2. Círculo médio: Raio 1 ($ k = 1 $)
  3. Círculo menor: Raio $ \frac{1}{3} $ ($ k = 9 $)
A escala no desenho deve refletir esses tamanhos, mostrando claramente os três círculos um dentro do outro.

Resposta

As equações das curvas de nível para a função $ f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $ são:
  • Para $ k = \frac{1}{9} $: $ x^{2} + y^{2} = 9 $
  • Para $ k = 1 $: $ x^{2} + y^{2} = 1 $
  • Para $ k = 9 $: $ x^{2} + y^{2} = \frac{1}{9} $
O esboço das curvas de nível consiste em três círculos concêntricos com centros na origem e raios 3, 1 e $ \frac{1}{3} $, respectivamente.

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