Utilizando o teste que achar conveniente para determinar se a série diverge ou converge:
sumn=1^infty(n1+2 n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar:
sumn=1^infty(n1+2 n)^n
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (soma sem limite). Para isso, vamos usar um teste de convergência de séries. Vamos precisar entender um pouco sobre testes como o da raiz ou da razão.

Passo 2

Vamos usar o Teste da Raiz, que é bem útil quando temos potências de n no termo geral. Esse teste nos ajuda a ver como os termos da série se comportam quando n cresce.

Passo 3

O Teste da Raiz funciona assim: a gente calcula o limite da enésima raiz do termo geral quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não serve.
Vamos aplicar isso na nossa série:
an = (n1+2n)^n
Então, vamos calcular:
limn to infty raiz[n]an = limn to infty n1+2n

Passo 4

Agora, vamos simplificar esse limite. Dividindo o numerador e o denominador por n, temos:
limn to infty n1+2n = limn to infty 11n + 2 = 10 + 2 = 12

Passo 5

Como o limite que calculamos é 12, que é menor que 1, segundo o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(n1+2 n)^n converge.

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