1. Considere a equação
& (5 x^2 y+6 x^3 y^2+4 x y^2) d x & +(2 x^3+3 x^4 y+3 x^2 y) d y=0
(a) Mostre que a equação não é exata.
(b) Multiplique a equação por x^n y^m e determine valores para n e m que tornam a equação resultante exata.
(c) Use a solução da equação exata resultante para resolver a equação original.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(5x^2y+6x^3y^2+4xy^2r),dx+l(2x^3+3x^4y+3x^2yr),dy=0
e pede (a) mostrar que não é exata, (b) achar um fator integrante do tipo x^n y^m que a torne exata, e (c) resolver a equação resultante. Vamos usar os conceitos de exatidão e fator integrante para equações de primeira ordem.

Passo 2

Para testar exatidão calculamos
M(x,y)=5x^2y+6x^3y^2+4xy^2, N(x,y)=2x^3+3x^4y+3x^2y
Então
partial Mpartial y =5x^2+12x^3y+8xy, partial Npartial x =6x^2+12x^3y+6xy
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x,y)=x^n y^m. Multiplicando, obtemos
widetilde M = x^n y^m M, widetilde N = x^n y^m N
e exigimos
partialwidetilde Mpartial y =partialwidetilde Npartial x
Isso gera três igualdades de coeficientes ao comparar monômios:
5(m+1)=2(n+3), 6(m+2)=3(n+4), 4(m+2)=3(n+2)

Passo 4

Da segunda igualidade 6(m+2)=3(n+4) vem 2m=n. Substituindo na terceira 4(m+2)=3(2m+2) -2m+2=0, logo m=1 e n=2. Verifica-se que isso também satisfaz a primeira.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu=x^2y. Então
widetilde M =5x^4y^2+6x^5y^3+4x^3y^3, widetilde N =2x^5y+3x^6y^2+3x^4y^2,
que satisfaz partialwidetilde M/partial y=partialwidetilde N/partial x. Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x =widetilde M
Integrando em x:
psi=x^5y^2+x^6y^3+x^4y^3+h(y)
Derivando em y e igualando a widetilde N vê-se que h'(y)=0. Assim a solução implícita é
psi(x,y)=x^5y^2+x^6y^3+x^4y^3=C,
com C constante.

Resposta

O fator integrante é mu(x,y)=x^2y (isto é, n=2, m=1) e a solução geral da equação original, em forma implícita, é
x^5y^2 + x^6y^3 + x^4y^3 = C

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