- Considere a equação
(a) Mostre que a equação não é exata.
(b) Multiplique a equação por
e determine valores para
e
que tornam a equação resultante exata.
(c) Use a solução da equação exata resultante para resolver a equação original.
(b) Multiplique a equação por
(c) Use a solução da equação exata resultante para resolver a equação original.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (a) mostrar que não é exata, (b) achar um fator integrante do tipo
que a torne exata, e (c) resolver a equação resultante. Vamos usar os conceitos de exatidão e fator integrante para equações de primeira ordem.
Passo 2
Para testar exatidão calculamos
Então
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Multiplicando, obtemos
e exigimos
Isso gera três igualdades de coeficientes ao comparar monômios:
Passo 4
Da segunda igualidade
vem
. Substituindo na terceira
dá
, logo
e
. Verifica-se que isso também satisfaz a primeira.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Então
que satisfaz
. Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Derivando em
e igualando a
vê-se que
. Assim a solução implícita é
com
constante.
Resposta
O fator integrante é
(isto é,
,
) e a solução geral da equação original, em forma implícita, é