Esboce o gráfico da função e analise domínio, imagem, continuidade, crescimento/decrescimento, extremos, assíntotas e comportamento nos extremos do domínio.
f(x)=5 cdot e^-x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=5e^-x
e analisar, passo a passo, o domínio, a imagem, a continuidade, o crescimento/decrescimento, os extremos, as assíntotas e o comportamento de f quando xtopminfty. O conteúdo usado será análise de funções exponenciais e derivação.

Passo 2

Domínio e continuidade. A função exponencial e^-x está definida para todo xinR, logo
Domínio=R í
Como composição de funções contínuas ( xmapsto -x e exponencial), f é contínua em todo R.

Passo 3

Imagem e intercepto. Para todo x tem-se e^-x>0, então
f(x)=5e^-x>0forall x,
e, à medida que xto+infty, e^-xto0 e f(x)to0^+; quando xto-infty, e^-xto+infty e f(x)to+infty. Daí
Ima>=m=(0,infty)
O intercepto com o eixo y ocorre em x=0:
f(0)=5e^0=5

Passo 4

Crescimento/decrescimento e extremos. Calculamos a derivada
f'(x)=ddxl(5e^-xr)=-5e^-x
Como e^-x>0, segue f'(x)<0 para todo x. Assim, f é estritamente decrescente em R. Não há pontos críticos (onde f'=0), logo não existem extremos locais finitos; também não há máximo ou mínimo absolutos alcançados, pois
sup f=+infty (quando xto-infty) e inf f=0 (quando xto+infty), mas esses valores não são atingidos.

Passo 5

Assíntotas e comportamento nos extremos.
– Não há assíntotas verticais, pois não há pontos de descontinuidade.
– Há assíntota horizontal ao eixo x (reta y=0) quando xto+infty, pois
limxto+inftyf(x)=0
Para xto-infty, f(x)to+infty, não surgem assíntotas horizontais ou oblíquas desse lado.

Passo 6

Esboço do gráfico. A curva cruza o eixo y em (0,5), decai monótona e suavemente em direção à assíntota horizontal y=0 à direita, e cresce sem limite à esquerda. O formato é o de uma exponencial decrescente típica, sempre acima do eixo x.

Resposta

Domínio: R
Imagem: (0,infty)
Continuidade: contínua em todo R
Crescimento/decrescimento: estritamente decrescente em R
Extremos: sem extremos locais ou globais atingidos (supremo +infty, ínfimo 0, não alcançados)
Assíntotas: horizontal y=0 para xto+infty; nenhuma vertical ou oblíqua
Comportamento nos extremos:
limxto+inftyf(x)=0^+,
limxto-inftyf(x)=+infty.
Gráfico: curva exponencial decrescente cruzando (0,5) e aproximando-se de y=0 à direita.

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