Esboce o gráfico da função e analise domínio, imagem, continuidade, crescimento/decrescimento, extremos, assíntotas e comportamento nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
e analisar, passo a passo, o domínio, a imagem, a continuidade, o crescimento/decrescimento, os extremos, as assíntotas e o comportamento de
quando
. O conteúdo usado será análise de funções exponenciais e derivação.
Passo 2
Domínio e continuidade. A função exponencial
está definida para todo
, logo
Como composição de funções contínuas (
e exponencial),
é contínua em todo
.
Passo 3
Imagem e intercepto. Para todo
tem-se
, então
e, à medida que
,
e
; quando
,
e
. Daí
O intercepto com o eixo
ocorre em
:
Passo 4
Crescimento/decrescimento e extremos. Calculamos a derivada
Como
, segue
para todo
. Assim,
é estritamente decrescente em
. Não há pontos críticos (onde
), logo não existem extremos locais finitos; também não há máximo ou mínimo absolutos alcançados, pois
(quando
) e
(quando
), mas esses valores não são atingidos.
Passo 5
Assíntotas e comportamento nos extremos.
– Não há assíntotas verticais, pois não há pontos de descontinuidade.
– Há assíntota horizontal ao eixo (reta
) quando
, pois
– Não há assíntotas verticais, pois não há pontos de descontinuidade.
– Há assíntota horizontal ao eixo
Para
,
, não surgem assíntotas horizontais ou oblíquas desse lado.
Passo 6
Esboço do gráfico. A curva cruza o eixo
em
, decai monótona e suavemente em direção à assíntota horizontal
à direita, e cresce sem limite à esquerda. O formato é o de uma exponencial decrescente típica, sempre acima do eixo
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Continuidade: contínua em todo
Crescimento/decrescimento: estritamente decrescente em
Extremos: sem extremos locais ou globais atingidos (supremo , ínfimo
, não alcançados)
Assíntotas: horizontal para
; nenhuma vertical ou oblíqua
Comportamento nos extremos:
,
.
Gráfico: curva exponencial decrescente cruzando e aproximando-se de
à direita.
Imagem:
Continuidade: contínua em todo
Crescimento/decrescimento: estritamente decrescente em
Extremos: sem extremos locais ou globais atingidos (supremo
Assíntotas: horizontal
Comportamento nos extremos:
Gráfico: curva exponencial decrescente cruzando