Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
definida por
A pergunta é: verificar se
é uma transformação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
Dados relevantes: a regra explícita de para um vetor qualquer
.
Dados relevantes: a regra explícita de
Passo 2
Definição de transformação linear (explicada sem pressa). Uma aplicação
é linear se, para todos os vetores
e todo escalar
, valem duas propriedades:
- aditividade:
- homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
Se conseguirmos provar essas duas igualdades para a regra dada, então
é linear.
Passo 3
Provar a aditividade. Seja
e
vetores quaisquer em
. Primeiro calcule
:
Aplicando
ao somatório, usando a definição de
,
Agora desenvolvendo as somas (distribuindo):
Por outro lado, calcule
e
separadamente:
Somando
:
Reordenando os termos vemos que isso coincide com
:
Logo a propriedade de aditividade está verificada.
Passo 4
Provar a homogeneidade. Seja
um escalar e
um vetor qualquer. Primeiro calcule
:
Aplicando
em
:
Fatorando
em cada componente:
Mas isso é exatamente
vezes
, pois
Portanto
para todo escalar
e todo vetor
. A homogeneidade está verificada.
Passo 5
Conclusão a partir das duas propriedades: como verificámos que
para todos
e
para todo
e todo
, concluímos que
satisfaz a definição de transformação linear.
Passo 6
Observação útil (atalho prático que costuma cair em prova). A regra de
é afim às componentes e pode ser escrita como multiplicação por matriz. Escrevendo vetores em coluna, para
temos
Qualquer aplicação definida por
com
matriz fixa é automaticamente linear. Assim, a representação matricial confirma de forma imediata que
é linear.]
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (sem formalidade): tome
e
. Então
e para
temos
além de, por exemplo,
. Isso ilustra as propriedades já provadas.
Resposta
Sim.
é uma transformação linear (pode ser escrita como
).]