Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(2 x+y, 3 x+4 y).

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (2x+y,\;3x+4y).
A pergunta é: verificar se T é uma transformação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
Dados relevantes: a regra explícita de T para um vetor qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Definição de transformação linear (explicada sem pressa). Uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para todos os vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
  1. aditividade:
T(u+v)=T(u)+T(v),
  1. homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
T(cu)=c\,T(u).
Se conseguirmos provar essas duas igualdades para a regra dada, então T é linear.

Passo 3

Provar a aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) vetores quaisquer em \mathbb{R}^2. Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório, usando a definição de T,
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(2(x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;3(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)).
Agora desenvolvendo as somas (distribuindo):
T(u+v)=(2x_1+2x_2+y_1+y_2,\;3x_1+3x_2+4y_1+4y_2).
Por outro lado, calcule T(u) e T(v) separadamente:
T(u)=(2x_1+y_1,\;3x_1+4y_1), \qquad T(v)=(2x_2+y_2,\;3x_2+4y_2).
Somando T(u)+T(v):
T(u)+T(v)=(2x_1+y_1+2x_2+y_2,\;3x_1+4y_1+3x_2+4y_2).
Reordenando os termos vemos que isso coincide com T(u+v):
T(u+v)=T(u)+T(v).
Logo a propriedade de aditividade está verificada.

Passo 4

Provar a homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} um escalar e u=(x,y) um vetor qualquer. Primeiro calcule cu:
cu=(c x,\;c y).
Aplicando T em cu:
T(cu)=T(c x,\;c y)=(2(c x)+(c y),\;3(c x)+4(c y)).
Fatorando c em cada componente:
T(cu)=(c(2x+y),\;c(3x+4y)).
Mas isso é exatamente c vezes T(u), pois
c\,T(u)=c\,(2x+y,\;3x+4y)=(c(2x+y),\;c(3x+4y)).
Portanto
T(cu)=c\,T(u)
para todo escalar c e todo vetor u. A homogeneidade está verificada.

Passo 5

Conclusão a partir das duas propriedades: como verificámos que T(u+v)=T(u)+T(v) para todos u,v e T(cu)=cT(u) para todo c e todo u, concluímos que T satisfaz a definição de transformação linear.

Passo 6

Observação útil (atalho prático que costuma cair em prova). A regra de T é afim às componentes e pode ser escrita como multiplicação por matriz. Escrevendo vetores em coluna, para (x,y) temos
T(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Qualquer aplicação definida por T(v)=A v com A matriz fixa é automaticamente linear. Assim, a representação matricial confirma de forma imediata que T é linear.]

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (sem formalidade): tome u=(1,0) e v=(0,1). Então
T(1,0)=(2,3),\qquad T(0,1)=(1,4),
e para u+v=(1,1) temos
T(1,1)=(3,7)= (2,3)+(1,4)=T(1,0)+T(0,1),
além de, por exemplo, T(2\cdot(1,0))=T(2,0)=(4,6)=2\cdot(2,3)=2T(1,0). Isso ilustra as propriedades já provadas.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear (pode ser escrita como T(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}).]

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