Considere a equação 4 e apresente uma expressão análoga para d \mu. Tendo-se por base essa diferencial, determine \left(\frac{\partial \mu}{\partial T}\right)_{p, n} \mathrm{e}\left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{T, n}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) apresentar uma expressão análoga para d\mu a partir da “equação 4” e (ii) determinar \left(\frac{\partial \mu}{\partial T}\right)_{p, n} e \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{T, n}.
As informações relevantes que vamos usar (presumindo que a “equação 4” é a forma diferencial do potencial de Gibbs) são:
dG = -S\,dT + V\,dp + \mu\,dn,
onde G é a energia livre de Gibbs, S a entropia total, V o volume total, \mu o potencial químico e n o número de mols (ou quantidade de matéria) do sistema.
Também vamos usar que, para substância pura homogênea, vale G = n\,\mu.

Passo 2

Vou explicar por que G = n\,\mu e o que significa \mu.
  • G é uma função extensiva (duplica se duplicarmos o sistema). Para uma substância pura homogênea, G é proporcional à quantidade de matéria n. A constante de proporcionalidade é exatamente o potencial químico \mu, portanto G = n\,\mu.
  • \mu é, por definição, a variação de G quando mudamos n mantendo T e p fixos, isto é
\mu = \left(\frac{\partial G}{\partial n}\right)_{T,p}.
Isso liga \mu ao Gibbs e explica por que podemos expressar G em termos de \mu.

Passo 3

Agora vou diferenciar a identidade G = n\,\mu usando a regra do produto. Diferenciando ambas as parcelas obtemos:
dG = \mu\,dn + n\,d\mu.
Expliquei cada termo: \mu\,dn é a contribuição pela variação de n mantendo \mu momentaneamente constante; n\,d\mu é a contribuição pela variação de \mu mantendo n momentaneamente constante.

Passo 4

Comparo a expressão obtida em Passo 3 com a “equação 4” dada em Passo 1. Da equação de Gibbs temos
dG = -S\,dT + V\,dp + \mu\,dn.
Substituindo a expressão de dG do Passo 3 e cancelando o termo comum \mu\,dn de ambos os lados, fica:
\mu\,dn + n\,d\mu = -S\,dT + V\,dp + \mu\,dn \quad\Longrightarrow\quad n\,d\mu = -S\,dT + V\,dp.
Essa igualdade é central: relaciona a variação de \mu com as variações de T e p.

Passo 5

Divido a expressão do Passo 4 por n para obter uma forma para d\mu:
d\mu = -\frac{S}{n}\,dT + \frac{V}{n}\,dp.
Aqui é conveniente definir quantidades molares (ou específicas por unidade de quantidade de matéria): a entropia molar \bar{s} e o volume molar \bar{v},
\bar{s} \equiv \frac{S}{n},\qquad \bar{v} \equiv \frac{V}{n},
assim a expressão fica mais compacta e intuitiva:
d\mu = -\bar{s}\,dT + \bar{v}\,dp.
Interpretação didática: essa fórmula diz que, para um sistema simples, as variações do potencial químico com temperatura e pressão vêm diretamente da entropia molar e do volume molar.

Passo 6

A partir do diferencial total obtido no Passo 5, levo facilmente aos parciais pedidos. Se \mu é tratada como função de T e p (com n fixo), então o coeficiente que multiplica dT na expressão para d\mu é exatamente \left(\frac{\partial \mu}{\partial T}\right)_{p,n} (com sinal negativo), e o coeficiente que multiplica dp é \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{T,n}. Assim:
\left(\frac{\partial \mu}{\partial T}\right)_{p,n} = -\frac{S}{n} = -\bar{s},
\left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{T,n} = \frac{V}{n} = \bar{v}.
Expliquei o raciocínio: a forma diferencial d\mu = A\,dT + B\,dp implica que A=(\partial\mu/\partial T)_{p,n} e B=(\partial\mu/\partial p)_{T,n}.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{\partial \mu}{\partial T}\right)_{p,n} = -\frac{S}{n} = -\bar{s}
\displaystyle \left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_{T,n} = \frac{V}{n} = \bar{v}

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