Demonstre que o equilíbrio de fases, tendo em foco o potencial químico e
, implica naturalmente na Equação de Clayperon, para a qual se tem:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que, a partir da condição de equilíbrio de fases e da expressão diferencial do potencial químico, segue-se a Equação de Clapeyron
Informações dadas e notação:
- Foi dada a diferencial do potencial químico por mol:
, onde e são, respectivamente, a entropia molar e o volume molar. - A situação é de equilíbrio entre duas fases coexistentes (por exemplo, fase
e fase ). - Notação de diferença entre fases no ponto de transição:
(diferença por mol entre as duas fases). - O objetivo é obter a expressão pedida usando apenas as informações acima (não vou assumir mais nada sem explicar).
Passo 2
Condição de equilíbrio de fases (ponto-chave): quando duas fases coexistem em equilíbrio à temperatura
e pressão
, o potencial químico por mol é o mesmo nas duas fases. Em símbolos:
Isso significa que, movendo-se ao longo da curva de coexistência (mudando
e
de modo que as fases permaneçam em equilíbrio), os valores diferenciais do potencial químico nas duas fases são iguais:
Vou usar a expressão dada para
nas duas fases.
Passo 3
Aplicando
em cada fase e igualando os diferenciais:
Reorganizando termos (colocando os termos em
de um lado e os termos em
do outro) obtemos
Usando a notação de diferenças entre fases:
Passo 4
Isolando a derivada
ao longo da curva de coexistência:
Esta é uma forma da equação de Clapeyron expressa em termos da variação de entropia molar e volume molar entre as fases. Ainda falta relacionar
com
.
Passo 5
Relação entre entalpia molar e entropia molar no ponto de transição: usamos a identidade termodinâmica para o Gibbs por mol (potencial químico):
Como
, para as duas fases temos
e
. Subtraindo:
No ponto de transição em equilíbrio
, então o lado esquerdo é zero e obtemos
Portanto
Interpretação física:
é o calor latente por mol (entalpia de transição) e, para uma transição a temperatura
em equilíbrio reversível, esse calor latente é
vezes a variação de entropia molar.
Passo 6
Substituindo
na expressão para
do Passo 4:
Simplificando:
Pronto — esta é exatamente a Equação de Clapeyron. (Breve comentário: para a vaporização costuma-se chamar
de entalpia de vaporização
e
, o que permite aproximações úteis.)