Considere a equação de Bernoulli
onde
.
Determine a solução de tal equação quando
.
Determine a solução de tal equação quando
Passo 1
O enunciado dá a equação
com
e pede para determinar a solução quando
.
Informações relevantes:
- Substituir
na equação. - Procurar a família de soluções gerais (constante arbitrária incluída).
- Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral.
Passo 2
Substitui
diretamente na equação para ver como ela fica. Ao fazer isso obtemos
Agora vamos manipular essa expressão: podemos juntar os termos em
no mesmo lado. Subtraindo
de ambos os lados,
Para simplificar a escrita, defina temporariamente
Assim a equação fica
Passo 3
Explicando a estratégia para resolver
: esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem homogênea. Uma forma direta de resolvê-la é separar variáveis. Escrevendo
, temos
Se
não for identicamente zero, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Aqui a ideia de separar variáveis é colocar todos os termos em
num lado e todos os termos em
no outro, para integrar.
Passo 4
Integramos os dois lados. Lembrando que a primitiva de
é
, obtemos
onde
é constante de integração. Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
Definindo
(constante arbitrária real, podendo ser zero), obtemos a forma geral
Passo 5
Voltemos à notação original com
. Substituindo, a solução geral fica
Observação sobre o sinal no expoente: podemos reescrever
então uma forma alternativa é
Também é preciso lembrar que a solução identicamente zero
está incluída ao tomar
.
Resposta
onde
é constante arbitrária (incluindo
).