Considere a equação de Bernoulli
y^{\prime}+p(t) y=q(t) y^{n}
onde n \in \mathbb{N}.
Determine a solução de tal equação quando n=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^{\prime}+p(t)\,y=q(t)\,y^{n}
com n\in\mathbb{N} e pede para determinar a solução quando n=1.
Informações relevantes:
  • Substituir n=1 na equação.
  • Procurar a família de soluções gerais (constante arbitrária incluída).
  • Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral.

Passo 2

Substitui n=1 diretamente na equação para ver como ela fica. Ao fazer isso obtemos
y^{\prime}+p(t)\,y=q(t)\,y.
Agora vamos manipular essa expressão: podemos juntar os termos em y no mesmo lado. Subtraindo q(t)\,y de ambos os lados,
y^{\prime} + \bigl(p(t)-q(t)\bigr)\,y = 0.
Para simplificar a escrita, defina temporariamente
r(t):=p(t)-q(t).
Assim a equação fica
y^{\prime}+r(t)\,y=0.

Passo 3

Explicando a estratégia para resolver \,y^{\prime}+r(t)\,y=0: esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem homogênea. Uma forma direta de resolvê-la é separar variáveis. Escrevendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dt}, temos
\frac{dy}{dt} = -\,r(t)\,y.
Se y(t) não for identicamente zero, podemos dividir ambos os lados por y e obter
\frac{1}{y}\,dy = -\,r(t)\,dt.
Aqui a ideia de separar variáveis é colocar todos os termos em y num lado e todos os termos em t no outro, para integrar.

Passo 4

Integramos os dois lados. Lembrando que a primitiva de \dfrac{1}{y} é \ln|y|, obtemos
\int \frac{1}{y}\,dy = -\int r(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = -\int r(t)\,dt + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
|y| = e^{C_1}\exp\!\Bigl(-\int r(t)\,dt\Bigr).
Definindo C:=\pm e^{C_1} (constante arbitrária real, podendo ser zero), obtemos a forma geral
y(t) = C\exp\!\Bigl(-\int r(t)\,dt\Bigr).

Passo 5

Voltemos à notação original com r(t)=p(t)-q(t). Substituindo, a solução geral fica
y(t)=C\exp\!\Bigl(-\int \bigl(p(t)-q(t)\bigr)\,dt\Bigr).
Observação sobre o sinal no expoente: podemos reescrever
-\int \bigl(p(t)-q(t)\bigr)\,dt=\int \bigl(q(t)-p(t)\bigr)\,dt,
então uma forma alternativa é
y(t)=C\exp\!\Bigl(\int \bigl(q(t)-p(t)\bigr)\,dt\Bigr).
Também é preciso lembrar que a solução identicamente zero y(t)\equiv 0 está incluída ao tomar C=0.

Resposta

y(t)=C\exp\!\Bigl(\int \bigl(q(t)-p(t)\bigr)\,dt\Bigr),
onde C é constante arbitrária (incluindo C=0).

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