Nos itens abaixo, determine (sem resolver a equação) um intervalo
onde a solução do PVI deve estar definida.
t(t-4) y^{\prime}+y=0, y(2)=1
t(t-4) y^{\prime}+y=0, y(2)=1
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
O que é pedido: determinar, sem resolver a equação, um intervalo
onde a solução do PVI deva estar definida (ou seja, um intervalo contendo o ponto inicial
em que a solução exista e seja única).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão para uma equação linear de primeira ordem: dividir tudo por
(quando isso for permitido) para obter
Aqui a função coeficiente é
. A teoria que vamos usar (teorema de existência e unicidade para equações lineares de 1ª ordem) diz o seguinte de forma simples e prática:
- Se
e o termo independente (aqui é zero) são contínuos em um intervalo aberto que contém o ponto inicial, então existe uma única solução definida nesse intervalo.
Portanto devemos procurar intervalos em queseja contínua e que contenham .
Passo 3
Analisar onde
é descontínua. As descontinuidades ocorrem quando o denominador é zero, isto é, para
Esses pontos dividem a reta em três intervalos abertos nos quais
é contínua: o intervalo à esquerda de
, o intervalo entre
e
, e o intervalo à direita de
. O ponto inicial
está no intervalo entre
e
.
Passo 4
Conclusão lógica (usando o teorema): a solução do PVI existe e é única em qualquer intervalo aberto que contenha
e que não contenha as descontinuidades
nem
. O maior intervalo aberto com essa propriedade é o intervalo entre as duas descontinuidades mencionadas.