Nos itens abaixo, determine (sem resolver a equação) um intervalo I onde a solução do PVI deve estar definida.
t(t-4) y^{\prime}+y=0, y(2)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
t(t-4)\,y'(t)+y(t)=0, \qquad y(2)=1.
O que é pedido: determinar, sem resolver a equação, um intervalo I onde a solução do PVI deva estar definida (ou seja, um intervalo contendo o ponto inicial t=2 em que a solução exista e seja única).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão para uma equação linear de primeira ordem: dividir tudo por t(t-4) (quando isso for permitido) para obter
y'(t)+\frac{1}{t(t-4)}\,y(t)=0.
Aqui a função coeficiente é p(t)=\dfrac{1}{t(t-4)}. A teoria que vamos usar (teorema de existência e unicidade para equações lineares de 1ª ordem) diz o seguinte de forma simples e prática:
  • Se p(t) e o termo independente (aqui é zero) são contínuos em um intervalo aberto que contém o ponto inicial, então existe uma única solução definida nesse intervalo.
    Portanto devemos procurar intervalos em que p(t) seja contínua e que contenham t=2.

Passo 3

Analisar onde p(t)=\dfrac{1}{t(t-4)} é descontínua. As descontinuidades ocorrem quando o denominador é zero, isto é, para
t=0\quad\text{e}\quad t=4.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos abertos nos quais p(t) é contínua: o intervalo à esquerda de 0, o intervalo entre 0 e 4, e o intervalo à direita de 4. O ponto inicial t=2 está no intervalo entre 0 e 4.

Passo 4

Conclusão lógica (usando o teorema): a solução do PVI existe e é única em qualquer intervalo aberto que contenha t=2 e que não contenha as descontinuidades t=0 nem t=4. O maior intervalo aberto com essa propriedade é o intervalo entre as duas descontinuidades mencionadas.

Resposta

I=(0,4)

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