Nos itens abaixo, uma função coeficiente apresenta descontinuidade no ponto t=1. Resolva o PVI encontrando uma solução em cada subintervalo (note que a solução pode ser definida de forma contínua na união dos subintervalos).
y^{\prime}+a(t) y=0, \quad y(0)=1, \quad onde a(t)=\left\{\begin{array}{rr}2, & 0 \leq t \leq 1, \\\\ 1, & t>1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com equação diferencial de primeira ordem e coeficiente com descontinuidade em [t=1). Vamos listar o que temos e o que se pede.
  • Equação: y^{\prime}+a(t)\,y=0.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Coeficiente por partes: a(t)=\begin{cases} 2, & 0\le t\le1,\\[4pt] 1, & t>1. \end{cases}
  • O objetivo: encontrar a solução y(t)\] em cada subintervalo (ou seja, para \(0\le t\le1 e para t>1), possivelmente definindo a solução globalmente por partes.
Não se pede nada além da solução; portanto vamos obter explicitamente y(t) em 0\le t\le1 e em t>1, usando a condição inicial e a continuidade natural da solução em t=1.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
  • A equação é linear homogênea de primeira ordem com coeficiente dependente de t. Num intervalo onde a(t) é constante, a equação reduz-se a uma equação de separação de variáveis simples: y'=-a\,y.
  • Método: separar variáveis ou integrar o coeficiente diretamente. Para coeficiente constante a temos a solução geral y(t)=C e^{-a t}, onde C é constante determinada pela condição inicial ou pela condição de continuidade no ponto de junção.
  • Como a(t) é diferente em cada subintervalo, resolvemos em cada intervalo separadamente e usamos a condição y(0)=1 para fixar a constante no primeiro intervalo. Em seguida usamos o valor de y em t=1 como “condição inicial” para obter a solução no intervalo t>1. Isso é legítimo porque a solução é continuamente definida até t=1 e a equação vale em cada intervalo aberto.

Passo 3

Resolver a equação em 0\le t\le1 (detalhando passos).
No intervalo [0,1] temos a(t)=2. A equação fica
y' + 2y = 0.
Separando variáveis (ou reconhecendo equação exponencial):
\frac{dy}{dt} = -2y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = -2\,dt.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int -2\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = -2t + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando,
y(t) = C_1 e^{-2t}.
Aqui C_1 é um número real a determinar pela condição inicial.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para fixar C_1.
Substituindo t=0 em y(t)=C_1 e^{-2t}:
y(0)=C_1 e^{0}=C_1 = 1.
Logo C_1=1 e, para 0\le t\le1,
y(t) = e^{-2t}.

Passo 5

Determinar o valor de y em t=1 que servirá de “condição inicial” para o segundo intervalo.
Calculando o limite (ou valor) na extremidade direita do primeiro intervalo:
y(1)=e^{-2\cdot 1}=e^{-2}.
Esse valor é a condição de continuação no ponto t=1. Como a solução do problema diferencial é contínua (a equação é regular em cada lado e determina a solução até t=1), usaremos y(1)=e^{-2} para a solução em t>1.

Passo 6

Resolver a equação para t>1.
No intervalo t>1 temos a(t)=1. A equação fica
y' + y = 0.
Novamente separando variáveis:
\frac{dy}{dt} = -y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = -dt.
Integração dá
\ln|y| = -t + C_2,
ou
y(t) = C_2 e^{-t},
com C_2 constante a determinar pela condição de continuidade em t=1.

Passo 7

Impor continuidade em t=1 para achar C_2.
Queremos que a solução à direita coincida com y(1)=e^{-2}. Substituindo t=1 na fórmula do segundo intervalo:
y(1)=C_2 e^{-1} \stackrel{!}{=} e^{-2}.
Assim
C_2 = e^{-2}\cdot e^{1} = e^{-1}.
Portanto, para t>1,
y(t) = e^{-1} e^{-t} = e^{-(t+1)}.

Passo 8

Resumo e observações finais (motivação e verificação rápida).
  • Em cada subintervalo a solução é exponencial com decaimento proporcional ao coeficiente constante a.
  • A solução é contínua em t=1 porque escolhemos C_2 de modo que os dois ramos coincidam em t=1. A derivada pode não ser contínua em t=1 (de fato y' à esquerda é -2e^{-2} e à direita é -e^{-2}), isso é esperado quando o coeficiente tem salto.
  • Portanto a solução global, definida por partes, é a que segue.

Resposta

y(t)=e^{-2t},\quad 0\le t\le1
y(t)=e^{-(t+1)},\quad t>1

Exercícios relacionados